第七章 第3节 基本不等式及其应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　基本不等式及其应用 [考试要求] 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0). 2.结合具体事例,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b. 2.基本不等式与最值 已知x,y都是正数. (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值(简记:和定积最大). (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2(简记:积定和最小). [重要结论] 1.+≥2(a,b同号). 2.ab≤(a,b∈R). 3.≥()2(a,b∈R). 4.(1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca; (2)a>0,b>0,c>0,则≥. 5.≥≥≥(a>0,b>0). 6.若a>0,b>0,则a2+b2≥2ab可变形为a≥2b-或b≥2a-. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　) (2)函数y=x+的最小值是2.(　　) (3)函数f(x)=sin x+的最小值为4.(　　) (4)“x>0且y>0”是“+≥2”的充要条件.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为(　A　) A.9 B.18 C.36 D.81 解析:因为x+y=18,所以≤=9,当且仅当x=y=9时,等号成立.故选A. 3.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　C　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 解析:对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,当且仅当x=-1时取等号,所以其最小值为3,A不符合题意; 对于B,因为0<|sin x|≤1,y=|sin x|+≥2=4,当且仅当|sin x|=2时取等号,等号取不到,所以其最小值不为4,B不符合题意; 对于C,因为函数定义域为R,而2x>0,y=2x+22-x=2x+≥2=4,当且仅当2x=2,即x=1时取等号,所以其最小值为4,C符合题意; 对于D,y=ln x+,函数定义域为(0,1)∪(1,+∞),而ln x∈R且ln x≠0,如当ln x=-1时,y=-5,D不符合题意.故选C. 4.(2023·云南玉溪一中模拟)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,则这个矩形的长为　　　　m,宽为　　　　m时,菜园面积最大.  解析:设矩形的长为x m(x≤18),宽为y m.则x+2y=30,所以S=xy=x·(2y)≤)2=, 当且仅当x=2y,即x=15,y=时取等号. 答案:15　 考点一　利用基本不等式求最值 微点1　配凑法求最值 [例1] (1)(2023·四川成都诊断)设0<x<,则函数y=4x(3-2x)的最大值为　　　　.  (2)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为　　　　.  解析:(1)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2[]2=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立. 因为∈(0,),所以函数y=4x(3-2x)(0<x<)的最大值为. (2)因为x<,所以5-4x>0,则f(x)=4x-5++3=-(5-4x+)+3≤-2+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,取等号.故f(x)=4x-2+的最大值为1. 答案:(1)　(2)1 配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键. [素能演练1] 函数y=(x<-1)的最大值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.-1 解析:因为y===-[-(x+1)+]+1≤ -2+1=-1, 当且仅当-(x+1)=-,即x=-2时等号成立.故选D. 微点2　常数代换法求最值 [例2] (2023·安徽江淮十校联考)已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为　　　　.  解析:因为a+b=1,所以+=(+)(a+b)=2+(+)≥2+2 =2+2=4. 当且仅当a=b=时,取等号. 答案:4 [变式练习1] 将本例条件“a+b=1”改为“a+2b=3”,则+的最小值为　　　　.  解析:因为a+2b=3,所以a+b=1.所以+=(+)(a+b)=+++≥1+2 =1+.当且仅当a=b时取等号. 答案:1+ [变式练习2] 保持本例条件不变,则(1+)(1+)的最小值为　　　　.  解析:(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=5+2(+)≥5+2×2=9