第七章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [考试要求] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By+C>0 直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 不包括 边界 Ax+By+C≥0 包括边界 不等式组 各个不等式表示的平面区域的公共部分 2.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x,y的约束条件 目标函数 要求最值的函数z=f(x,y) 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.(　　) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　) (4)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是(　C　) A.(0,0) B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 解析:因为-1+3-1>0,所以点(-1,3)不在x+y-1≤0表示的平面区域内.故选C. 3.(2023·云南昆明一中模拟)不等式组表示的平面区域是(　C　) 解析:把点(0,0)代入不等式组可知,点(0,0)不在x-3y+6<0表示的平面区域内,点(0,0)在x-y+2≥0表示的平面区域内.故选C. 4.(2022·浙江卷)若实数x,y满足约束条件则z=3x+4y的最大值是(　B　) A.20 B.18 C.13 D.6 解析:法一　作出不等式组表示的平面区域如图所示,平移直线3x+4y=0,由图知,当直线经过点A(2,3)时,目标函数z=3x+4y取得最大值, 即zmax=3×2+4×3=18. 法二　由得此时z=18; 由得此时z=6; 由得此时z=13. 综上所述,z=3x+4y的最大值为18.故选B. 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为(　B　) A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 解析:根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.故选B. 2.在平面直角坐标系xOy中,不等式组表示的图形的面积等于(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:不等式组对应的平面区域如图,即对应的区域为正方形ABCD, 其中A(0,1),D(1,0),边长AD=,则正方形的面积S=×=2.故选B. 3.(2023·四川泸县第二中学模拟预测)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形,则a的取值范围是　　　　　　　　.  解析:作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示).由图知,要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形,只需动直线l:x+y=a在l1,l2之间(包含l2,不包含l1)或l3上方(包含l3),故0<a≤1或a≥. 答案:(0,1]∪[,+∞) 平面区域的形状问题常见的两种题型 (1)确定平面区域的形状,求解时先画满足条件的平面区域,然后判断其形状. (2)根据平面区域的形状求解参数问题,求解时通常先画满足条件的平面区域,但要注意对参数进行必要的讨论. 考点二　目标函数的最值问题 微点1　求线性目标函数的最值 [例1] (2022·全国乙卷)若x,y满足约束条件,则z=2x-y的最大值是(　　) A.-2 B.4 C.8 D.12 解析:法一　作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,作出直线y=2x,平移该直线,当直线经过点(4,0)时,z最大,此时z=2×4-0=8. 法二　由得 此时z=2×0-2=-2; 由得 此时z=2×2-0=4; 由得此时z=2×4-0=8. 综上所述,z=2x-y的最大值为8.故选C. 求线性目标函数(z=ax+by)最值的一般步骤 [素能演练1] 已知A(1,2),点B(x,y)的坐标x,y满足则·的取值