第七章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　不等式的性质与一元二次不等式 [考试要求] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 1.实数大小比较的依据 (1)a>b⇔a-b>0;(2)a=b⇔a-b=0;(3)a<b⇔a-b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1); (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} [重要结论] 1.有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 (1)<<(b-m>0),即真分数越加越大,越减越小. (2)<<(b-m>0),即假分数越加越小,越减越大. 2.倒数性质:(1)ab>0,a>b⇒<. (2)a>b>0,d>c>0⇒>. 3.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形. 4.当Δ<0时,不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是,要注意区别. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)a>b⇔ac2>bc2.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) (3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.(　　) (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(2022·广西南宁二模)若a>b>0,c<d<0,则一定有(　B　) A.> B.< C.> D.< 解析:因为c<d<0,所以0>>,两边同乘-1,得->->0,又a>b>0,故由不等式的性质可知->->0,两边同乘-1,得<.故选B. 3.(教材改编题)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克水(m>0),糖水就变淡了,则此事实可用一个不等式表示为　　　　　　.  解析:变淡了,意味着含糖量小了,即浓度低了. 答案:> 4.(2023·云南保山模拟)不等式|5x-x2|<6的解集为　　　　　　　　　　.  解析:因为|5x-x2|<6,所以-6<5x-x2<6,所以⇒⇒-1<x<2或3<x<6, 则不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}. 答案:{x|-1<x<2或3<x<6} 考点一　不等式的性质及应用 1.(2023·四川广安二中模拟预测)若<<0,则下列结论不正确的是(　D　) A.a2<b2 B.ab<b2 C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b| 解析:由题意可知b<a<0,所以A,B,C正确,而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误.故选D. 2.若a<0,b<0,则p=+与q=a+b的大小关系为(　B　) A.p<q B.p≤q C.p>q D.p≥q 解析: p-q=+-a-b=+=(b2-a2)·(-)==,因为a<0,b<0,所以a+b<0,ab>0. 若a=b,则p-q=0,故p=q;若a≠b,则p-q<0,故p<q.综上,p≤q.故选B. 3.已知a=log0.12,b=log5,则(　D　) A.ab<0<a+b B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.a+b<ab<0 解析:因为a=log0.12<0,b=log5>0,所以ab<0,又因为a+b=log0.12+log5=+=-lg 2+=<0,所以a+b<0, 又=+=log20.1+lo 5=log20.1+log225=log22.5>1,所以>1且ab<0, 所以a+b<ab,所以a+b<ab<0.故选D. 4.若-<α<β<,则α-β的取值范围是　　　　.  解析:由-<α<,-<-β<,则-π<α-β<π,又α<β,得-π<α-β<0. 答案:(-π,0) 1.比较两个数(式)大小常用的两种方法 2.与命题真假判断相结合问