第六章 培优课(三) 数列的综合应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

培优课(三)　数列的综合应用 　　函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现. 类型一　数列的实际应用问题 [例1] (2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA′,BB′,CC′,DD′是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3,已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3等于(　　) A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 解析:如图,连接OA,延长AA1与x轴交于点A2,则OA2=4OD1.因为k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,所以k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,所以CC1=DC1(k3-0.2),BB1=CB1(k3-0.1),AA1=k3BA1,即CC1=OD1(k3-0.2),BB1=OD1(k3-0.1),AA1=k3OD1.又=0.5,所以DD1=0.5OD1,所以AA2=0.5OD1+OD1(k3-0.2)+OD1(k3-0.1)+k3OD1=OD1(3k3+0.2),所以tan∠AOA2===0.725,解得k3=0.9.故选D. 对于实际问题及数学文化中所涉及的数列模型,解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再依据等差或等比数列的有关公式求解作答,必要时要进行检验. [对点训练1] 中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.意思是把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵,每个弟弟都比前面的哥哥多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵的斤数为　　　　.  解析:由题意可知,每个儿子分到的绵的斤数构成以第8个儿子分到的绵的斤数为首项,公差为 d=-17的等差数列,其中n=8,S8=996,所以8a1+×(-17)=996,解得a1=184. 答案:184 类型二　数列的新定义问题 [例2] 已知数列{an}满足an=log2().给出定义:使数列{an}的前k项和为正整数的k(k∈N*)叫做“好数”,则在[1,2 021]内的所有“好数”的和为　　　　.  解析:由题,得Sn=log2()+log2()+…+log2()=log2+log2+…+log2()=log2(××…×)=log2=log2(n+2)-log22=log2(n+2)-1.所以Sk=log2(k+2)-1.因为Sk为正整数,所以log2(k+2)-1>0,即k+2>2⇒k>0.令m=log2(k+2),则k=2m-2. 因为k∈[1,2 021],所以2m∈[3,2 023],因为y=2x为增函数,且21=2,22=4,…,210=1 024,211=2 048,所以m∈[2,10].所以所有“好数”的和为22-2+23-2+…+210-2=-2×9=2 026. 答案:2 026 解决新定义中的数列问题的一般流程 (1)读懂定义,理解新定义数列的含义; (2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论; (3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案; (4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. [对点训练2] 若数列{bn}满足:若bm=bn(m,n∈N*),则bm+1=bn+1,则称数列{bn}为“等同数列”.已知数列{an}满足a5=5,且an=n(an+1-an),若“等同数列”{bn}的前n项和为Sn,且b1=a1=b4,b2=a2,S5=a10,则S2 022=(　　) A.4 711 B.4 712 C.4 714 D.4 718 解析:由an=n(an+1-an)得=,则===…==1,故an=n,所以b1=a1=1,b2=a2=2,b4=a1=1,所以b4=b1,所以b5=b2=2,因为S5=a10=10,所以1+2+b3+1+2=10,解得b3=4,同理得b6=b3=4,b7=b4=1,b8=b5=2,…,故数列{bn}是以3为周期的数列,所以S2 022=S674×3=(1+2+4)×674=4 718.故选D. 类型三　数列与函数的综合问题 [例3] (2022·陕西西安一模)已知函数y=f(x+1)的图象关于y轴对称,且函数f(x)在(1,+∞)上单调,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且 f(a4)=f(a18),