第六章 第4节 数列求和-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　数列求和 [考试要求] 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d. (2)等比数列的前n项和公式: Sn= 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法. 把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差数列、等比数列,再求解. (2)裂项相消法. 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (3)错位相减法. 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法. 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. [重要结论] 裂项求和的常用变形 (1)=-). (2)=-). (3)=-. (4)若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列, 则=-). (5)=-. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.(　　) (2)当n≥2时,=-).(　　) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(　　) (4)若数列a1,a2-a1,…,an-an-1是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)在等差数列{an}中,已知公差d=,且a1+a3+…+a99=50,则a2+a4+…+a100等于(　B　) A.50 B.75 C.100 D.125 解析:a2+a4+…+a100=(a1+d)+(a3+d)+…+(a99+d)=(a1+a3+…+a99)+50d=50+25=75.故选B. 3.(2023·四川宜宾第四中学模拟预测)若f(x)+f(1-x)=4,an=f(0)+f()+…+f()+f(1)(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.  解析:由f(x)+f(1-x)=4,可得f(0)+f(1)=4,…,f()+f()=4,所以2an=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]+…+[f(1)+f(0)]=4(n+1),即an=2(n+1). 答案:an=2(n+1) 4.(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　.  解析:设bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,得n===+1,令m-1=2k,k∈N,所以m=2k+1,k∈N,则ak=3(2k+1)-2=6k+1,k∈N,得an=6n-5,n∈N*.故Sn=×n=3n2-2n. 答案:3n2-2n 考点一　分组转化法求和 [例1] (2021·新高考Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1, an+1= (1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式; (2)求{an}的前20项和. 解:(1)因为bn=a2n,且a1=1, an+1=所以b1=a2=a1+1=2, b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.因为bn=a2n,所以bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3,所以bn+1-bn=a2n+3-a2n=3, 所以数列{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,bn=2+3(n-1)=3n-1,n∈N*. (2)因为an+1= 所以当k∈N*时,a2k=a2k-1+1=a2k-1+1, 即a2k=a2k-1+1,① a2k+1=a2k+2,② a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1, 即a2k+2=a2k+1+1,③ 所以①+②得a2k+1=a2k-1+3, 即a2k+1-a2k-1=3, 所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列; ②+③得a2k+2=a2k+3,即a2k+2-a2k=3, 又a2=2,所以数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.所以数列{an}的前20项和S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10+×3+20+×3=300. 1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. 2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和. 3.如果cn=(-1)n·an,求cn的前n项和时,可采用并项求