第六章 第3节 等比数列及其前n项和-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　等比数列及其前n项和 [考试要求] 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数). (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn-1. (2)前n项和公式: Sn= 3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*). (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=ap·aq=. (3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},{},{},{an·bn},{}(λ≠0)仍然是等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. (5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,当 q≠-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.当q=-1时,若n为偶数,则不成等比数列,若n为奇数,则成公比为-1的等比数列. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　) (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题) 已知{an}是等比数列,a2=2,a4=,则公比q等于(　D　) A.- B.-2 C.2 D.± 解析:设等比数列的公比为q,因为{an}是等比数列,a2=2,a4=,所以a4=a2q2,所以q2==,所以q=±.故选D. 3.(2023·甘肃兰州诊断)设等比数列{an}的前6项和为6,且a1=a,a2=2a,则a=(　A　) A. B. C. D. 解析:由题意得公比q==2,则S6==63a=6,解得a=.故选A. 4.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于(　D　) A.14 B.12 C.6 D.3 解析:法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得 即解得 所以a6=a1q5=3. 法二　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得 即解得 所以a6=a1q5=3.故选D. 考点一　等比数列基本量的运算 1.(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k等于(　C　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:令m=1,则由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=ak(a1+a2+…+a10)=2k×=2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1),解得k=4.故选C. 2.(2023·四川成都模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q等于(　A　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:因为S2=3,S4=15,所以q≠1, 由 ②÷①得q2=4,又q>0,所以q=2.故选A. 3.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则a4=　　　　.  解析:由解得或则a4=a1·q3=2×33=54或a4=3×23=3×8=24. 答案:54或24 等比数列基本量运算的解题策略 (1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可使问题迎刃而解; (2)分类讨论思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==. 考点二　等比数列的判定与证明 [例1] (2023·贵州瓮安中学模拟预测)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an. (1)证明:数列{an+an+1}为等比数列; (2)若a1=,a2=,求数