第六章 第2节 等差数列及其前n项和-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　等差数列及其前n项和 [考试要求] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 1.等差数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(n∈N*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a与b的等差中项. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d.当d≠0时,等差数列{an}的通项公式an=dn+(a1-d)是关于d的一次函数. (2)前n项和公式:Sn=na1+d=.当d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn=n2+(a1-)n是关于n的二次函数(没有常数项). 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*). (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N*)也是等差数列,公差为m2d. [重要结论] 1.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 2.若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和分别为Sn,Tn,则=. 3.若{an}是等差数列,则{}也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的. 4.若等差数列{an}的项数为偶数2n,则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); (2)S偶-S奇=nd,=. 5.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则 (1)S2n+1=(2n+1)an+1; (2)=. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(2023·内蒙古呼和浩特质检)在等差数列{an}中,若a1+a2=5,a3+a4=15,则a5+a6=(　C　) A.10 B.20 C.25 D.30 解析:在等差数列{an}中,每相邻2项的和仍然构成等差数列,设其公差为d,若a1+a2=5,a3+a4=15,则d=15-5=10,因此a5+a6=(a3+a4)+d=15+10=25.故选C. 3.(教材改编题)一物体从1 960 m的高空降落,如果第1秒降落4.90 m,以后每秒比前一秒多降落9.80 m,那么经过　　　　s降落到地面.  解析:设物体经过t s降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为 9.80 的等差数列.所以4.90t+t(t-1)×9.80=1 960,即4.90t2=1 960,解得t=20. 答案:20 4.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.  解析:因为2S3=3S2+6, 所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6, 化简得3d=6,得d=2. 答案:2 考点一　等差数列基本量的运算 1.已知有五种规格旗子的长a1,a2,a3,a4,a5 (单位:cm)成等差数列,对应的宽分别为b1,b2,b3,b4,b5(单位:cm),且长与宽之比都相等.已知a1=288,a5=96,b1=192,则b3=(　C　) A.64 B.96 C.128 D.160 解析:由已知条件可得=,则b5===64,因此b3===128.故选C. 2.(2023·四川省大数据精准教学联盟模拟)已知等差数列{an}满足a4+a6=22,a1·a9=57,则该等差数列的公差为(　D　) A.1或-1 B.2 C.-2 D.2或-2 解析:由a1+a9=a4+a6=22,a1·a9=57,所以a1,a9是方程x2-22x+57=0的两实数根,解得或所以公差d==2或-2.故选D. 3.(2023·陕西省汉中十三校模拟)在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相