第九章 第7节 双曲线-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第7节　双曲线 [考试要求] 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 3.了解双曲线的简单应用. 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0: (1)若a<c,则集合P为双曲线; (2)若a=c,则集合P为两条射线; (3)若a>c,则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 范围 x≥a或x≤-a, y∈R y≥a或y≤-a, x∈R 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长度|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长度|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=. [重要结论] 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为. 4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则=,其中θ为∠F1PF2. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.(　　) (2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　) (3)双曲线-=1(m>0,n>0)的渐近线方程是±=0.(　　) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改编题)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则 |PF2|等于(　B　) A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不对 解析:根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8,所以|PF2|等于1或17. 又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17.故选B. 3.(2023·广西百色模拟)已知双曲线-=1(m>0)的离心率为,则其标准方程为(　D　) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.-=1 解析:因为双曲线-=1(m>0), 所以a2=m,b2=m+6,又c2=a2+b2, 所以c2=2m+6, 因为离心率为, 所以e2===5,解得m=2, 所以双曲线的标准方程为-=1.故选D. 4.(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.  解析:法一　依题意,得m<0,双曲线的方程可表示为y2-=1,此时双曲线的渐近线的斜率为 ±=±,解得m=-3. 法二　依题意得m<0,令y2-=0, 得y=±x=±x,解得m=-3. 答案:-3 考点一　双曲线的标准方程 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,且其右焦点为(5,0),则双曲线C的标准方程为(　B　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:由题意,得=,c2=a2+b2=25,所以a=4,b=3,所以所求双曲线的标准方程为-=1.故选B. 2.经过点P(3,2),Q(-6,7)的双曲线的标准方程为　　　　　　　.  解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为所求双曲线经过点P(3,2),Q(-6,7), 所以解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. 答案:-=1 3.焦点在x轴上,焦距为10,且与双曲线-x2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程是　 .  解析:设所求双曲线的方程为-x2=-λ(λ>0),即-=1,则有4λ+λ=25,解得λ=5, 所以所求双曲线的标准方程为-=1. 答案:-=1 1.求双曲线标准方程的常用方法 (1)定义法:根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置求出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点在x轴上还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好