第九章 第6节 直线与椭圆-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　直线与椭圆 [考试要求] 1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法. 2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式. 3.了解直线与椭圆相交的综合问题. 1.直线与椭圆的位置关系 将直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与椭圆相交⇔Δ>0;直线与椭圆相切⇔Δ=0;直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2.弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|= ,k为直线斜率且 k≠0. [重要结论] 已知椭圆+=1(a>b>0). (1)焦点弦中通径最短,即过焦点与长轴垂直的弦,其长度为. (2)过左焦点的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则焦点弦|AB|=2a+e(x1+x2);过右焦点弦CD,C(x3,y3),D(x4,y4),则焦点弦|CD|=2a-e(x3+x4).(e为椭圆的离心率) (3)A1,A2为椭圆的长轴顶点,P是椭圆上异于A1,A2的任一点,则·=-. (4)AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦,O为原点,M为AB的中点,则kOM·kAB=-. (5)过原点的直线交椭圆于A,B两点,P是椭圆上异于A,B的任一点,则kPA·kPB=-. (6)点P(x0,y0)在椭圆上,过点P的切线方程为 +=1. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)椭圆通径是所有焦点弦中最短的弦.(　　) (2)直线y=x与椭圆+y2=1一定相交.(　　) (3)直线y=x-1被椭圆+y2=1截得的弦长为.(　　) (4)过椭圆上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线的斜率k=.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为(　C　) A. B. C. D. 解析:由题意得,a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),则直线l的方程为y=x-, 设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去y,得5x2-8x+8=0, 则x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|=·=×=.故选C. 3.(2023·四川遂宁模拟)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为(　C　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a=2,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为 +=1.故选C. 4.(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.  解析:如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c.所以b2=a2-c2=3c2,因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|, 所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程 +=1,得13x2+8cx-32c2=0. 设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-, 所以|DE|====6, 解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13. 答案:13 考点一　直线与椭圆的位置关系 [例1] (1)“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)过圆x2+y2=r2上一定点F(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆+=1上的点A(3,-1)作椭圆的切线l.则过A点且与直线l垂直的直线方程为(　　) A.x+y-2=0 B.x-y-3=0 C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0 解析:(1)由a=1,得直线y=x+1过点(0,1). 又点(0,1)在椭圆C:+=1内部,故a=1⇒直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点,而直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点不止a=1一个解.所以“a=1”是“直线y=x+a与椭圆C:+=1有公共点”的充分不必要条件.故选A. (2)过椭圆+=1上的点A(3,-1)的切线l的方程