第九章 第5节 椭圆及其简单几何性质-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　椭圆及其简单几何性质 [考试要求] 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且a,c为常数. (1)若a>c,则集合P为椭圆. (2)若a=c,则集合P为线段. (3)若a<c,则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 图形 续　表 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 性 质 范 围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 对称 性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) ,B1(-b,0),B2(b,0) 离心 率 e=,且e∈(0,1) a,b,c 的关系 c2=a2-b2 [重要结论] 椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)=|PF1||PF2|sin θ=b2tan =c|y0|.当P为短轴端点时,θ最大,最大,最大值为bc. (2)△PF1F2的周长为2(a+c). (3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c. (4)|PF1|·|PF2|≤()2=a2. (5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　　) (2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(　　) (3)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(　　) (4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改编题)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是(　D　) A.长轴长为 B.焦距为 C.短轴长为 D.离心率为 解析:把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1,所以a=,b=,c=, 则长轴长2a=1,焦距2c=,短轴长2b=,离心率e==.故选D. 3.(2023·四川射洪模拟)椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,若△PF1F2的周长为6+2,则椭圆C的离心率为(　B　) A. B. C. D. 解析:因为c2=m+2-m=2,所以c=.因为△PF1F2的周长为6+2,所以2a+2c=6+2,所以2a=6,所以a=3,所以椭圆C的离心率为.故选B. 4.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　B　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1.故选B. 考点一　椭圆的定义及其应用 1.(2023·四川成都模拟)下列说法正确的是(　C　) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到两点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆 解析:对于A,|F1F2|=8,则平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段F1F2,所以A错误; 对于B,平面内到F1,F2两点的距离之和等于6,小于|F1F2|,这样的点不存在,所以B错误; 对于C,点M(5,3)到F1,F2两点的距离之和为+=4>|F1F2|=8,则所求动点的轨迹是椭圆,所以C正确; 对于D,平面内到F1,F2距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,所以D错误.故选C. 2.(2023·广西南宁模拟)已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在椭圆C上,