第二章 第9节 函数模型及其应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第9节　函数模型及其应用 [考试要求] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的差异. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b (a,b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=(k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a>0且a≠1,b≠0) 对数型函数模型 f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,a>0 且a≠1,b≠0) 幂函数型模型 f(x)=axn+b (a,b,n为常数,a≠0,n≠0) “对勾”函数模型 y=x+(a>0) 2.三种函数模型性质的比较 　　　函数 性质　　　 y=ax(a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大 逐渐表现为 与y轴平行 随x的增 大逐渐表 现为与 x轴平行 随n值变 化而各有 不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax [重要结论] 1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. 2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值: (1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减. (2)当x>0时,f(x)在x= 时取得最小值2, 当x<0时,f(x)在x=- 时取得最大值-2. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　　) (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　　) (3)不存在x0,使<<logax0.(　　) (4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(　C　) A.8 B.9 C.10 D.11 解析:设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为,由<,得n≥10.所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”.故选C. 3.(2022·北京卷)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是(　D　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 解析:当T=220,P=1 026时,lg P>3,此时二氧化碳处于固态,故A错误; 当T=270,P=128时,2<lg P<3,此时二氧化碳处于液态,故B错误; 当T=300,P=9 987时,lg P与4非常接近,故此时二氧化碳处于固态,故C错误; 当T=360,P=729时,因为2<lg P<3, 故此时二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D. 4.(2022·贵州凯里一中三模)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为　　　　万件.  解析:利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,故当x=18时,L(x)取得最大值. 答案:18 考点一　利用图象刻画变化过程 1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.