第二章 第8节 函数与方程-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第8节　函数与方程 [考试要求] 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根. 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 [重要结论] 1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点. 2.f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　) (2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(　　) (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)函数f(x)=ln x+2x-6的零点所在的区间是(　C　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:由题意得f(x)在定义域上单调递增且连续,又f(1)=ln 1+2-6=-4<0,f(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,f(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,f(4)=ln 4+8-6=ln 4+2>0,所以f(x)的零点所在的区间为(2,3).故选C. 3.(2023·湖南岳阳模拟)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]上的零点个数为(　B　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由2sin x-sin 2x=0,得sin x=0或cos x=1.又x∈[0,2π],由sin x=0,得x=0,π,2π. 由cos x=1,得x=0,2π,所以f(x)=0有三个实根0,π,2π,即f(x)在[0,2π]上有3个零点.故选B. 4.(2022·广西贵港高级中学三模)方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10,又当f(1)=0时,k=5.综上,实数k的取值范围是[5,10). 答案:[5,10) 考点一　函数零点所在区间的判定 1.(2023·重庆巴蜀中学模拟)函数f(x)=log3x+x-5的零点所在的区间是(　C　) A.(2,3) B.(3,) C.(,4) D.(4,5) 解析:函数f(x)=log3x+x-5是由函数y=log3x(x>0)和y=x-5两个增函数组成的, 故函数f(x)=log3x+x-5在(0,+∞)上是单调递增的, f(3)=log33+3-5=-1<0,f()=log3+-5=log3-=(1+log3)-=log3-log3<0,f(4)=log34+4-5=log34-log33=log3>log31=0, 故函数f(x)=log3x+x-5的零点所在的区间为(,4).故选C. 2.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)·(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　A　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a<b<c,则a