第二章 第6节 对数与对数函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　对数与对数函数 [考试要求] 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数 概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 性质 对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=logaN, loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1) 运算 法则 loga(MN)=logaM+logaN a>0,且a≠1, M>0,N>0 loga=logaM-logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1) 2.对数函数及其性质 (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质. a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为(0,+∞) 值域为R 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. [重要结论] 1.换底公式的变形 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1). (2)lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R). (3)logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M >0). 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 3.对数函数的图象与底数大小的比较 如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)log2x2=2log2x.(　　) (2)函数y=log2(x+1)是对数函数.(　　) (3)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　　) (4)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(2023·福建福州模拟)函数y=的定义域是(　D　) A.(-∞,) B.(,+∞) C.(,1] D.[1,+∞) 解析:由题意log2(3x-2)≥0,3x-2≥1,解得x≥1.故选D. 3.(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于(　C　) A.25 B.5 C. D. 解析:由2a=5两边同时取以2为底的对数,得a=log25,又b=log83==log23,所以a-3b=log25-log23=log2==2log4=log4,所以4a-3b==.故选C. 4.(教材改编题)函数y=loga(x-1)+2(a>0,且 a≠1)的图象恒过的定点是　　　　.  解析:当x=2时,函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的值为2,所以图象恒过定点(2,2). 答案:(2,2) 考点一　对数式的运算 1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34=2,则4-a等于(　B　) A. B. C. D. 解析:法一　因为alog34=2, 所以log34a=2, 则有4a=32=9, 所以4-a==.故选B. 法二　因为alog34=2, 所以-alog34=-2, 所以log34-a=-2, 所以4-a=3-2==.故选B. 法三　因为alog34=2,所以==log43, 所以=3, 两边同时平方得4a=9, 所以4-a==.故选B. 法四　因为alog34=2, 所以a===log49, 所以4-a==.故选B. 法五　令4-a=t,两边同时取以3为底的对数得 log34-a=log3t, 即alog34=-log3t=log3, 因为alog34=2,所以log3=2, 所以=32=9, 所以t=,即4-a=.故选B. 法六　令4-a=t,所以-a=log4t, 即a=-log4t=log4. 由alog34=2, 得a===log49, 所以log4 =log49,