第二章 第5节 指数与指数函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　指数与指数函数 [考试要求] 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,,的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 1.根式的概念及性质 (1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:()n=a(a使有意义); 当n为奇数时,=a, 当n为偶数时,=|a|= 2.分数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是==(a>0,m,n∈N*,且 n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 3.有理数指数幂的运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. 4.指数函数及其性质 (1)概念:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质. y=ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1) 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 [重要结论] 1.指数函数图象的画法 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,). 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)=-4.(　　) (2)分数指数幂可以理解为个a相乘.(　　) (3)函数y=2x-1是指数函数.(　　) (4)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)已知a=(),b=(),()c=3,则a,b,c的大小关系为(　A　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a 解析:因为1>()>()=()>0,所以1>a>b>0.因为()c=3>1=()0,所以c<0.所以a>b>c.故选A. 3.(2022·宁夏银川一中二模)已知函数f(x)=3x-()x,则f(x)(　B　) A.是偶函数,且在R上单调递增 B.是奇函数,且在R上单调递增 C.是偶函数,且在R上单调递减 D.是奇函数,且在R上单调递减 解析:f(x)=3x-()x的定义域为R,且f(-x)=3-x-()-x=()x-3x=-f(x),所以f(x)=3x-()x为奇函数,又y=3x与y=-()x分别在定义域上单调递增,所以f(x)=3x-()x在R上单调递增.故选B. 4.(2022·北京卷)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　C　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 解析:函数f(x)的定义域为R,f(-x)==,所以f(-x)+f(x)=+=1.故选C. 考点一　指数幂的运算 1.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个根,则2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.  解析:由根与系数的关系得α+β=-2,αβ=.则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=. 答案:　 2.计算:()·=　　　　(a>0,b>0).  解析:原式==. 答案: 3.(2022·青海西宁二模)已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=　　　　.  解析:因为f(a)=2a+2-a=3,所以f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2-2=32-2=7. 答案:7 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂都统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加; (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,应先确定符号. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二　指数函数的图象及应用 [例1] (1)已知实数a,b满足等式2 022a=2 023b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)(2022·贵州毕节三模)已知函数f(x)