第二章 第4节 幂函数与二次函数-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　幂函数与二次函数 [考试要求] 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 (1)幂函数的概念. 一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见幂函数的图象与性质. 函数 图象或性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 图象 定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇 非偶 奇 单调性 增 当x∈[0,+∞) 时,增; 当x∈(-∞,0) 时,减 增 增 当x∈(0,+∞) 时,减; 当x∈(-∞,0) 时,减 特殊点 (1,1) (0,0) (-1,-1) (1,1) (0,0) (-1,1) (1,1) (0,0) (-1,-1) (1,1) (0,0) (1,1) (-1,-1) 2.二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 [,+∞) (-∞,] 单调性 在(-∞,-) 上单调递减; 在(-,+∞) 上单调递增 在(-∞,-) 上单调递增; 在(-,+∞) 上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x=-对称 [重要结论] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向、对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=2是幂函数.(　　) (2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上单调递增.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(　　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α=(　C　) A. B.1 C. D.2 解析:因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点(,),所以()α=,所以α=,所以k+α=1+=.故选C. 3.(2023·云南师大附中模拟预测)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是(　C　) A.(-∞,40] 　　　B.[40,64] C.(-∞,40]∪[64,+∞) 　　　D.[64,+∞) 解析:f(x)图象的对称轴方程为x=,且f(x)在[5,8]上是单调函数,所以≥8或≤5,解得k≥64或k≤40.故选C. 4.(2023·浙江宁波模拟)已知α∈{-2,-1,-,,1,2,3}.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α=　　　　.  解析:由y=xα为奇函数,知α可取-1,1,3.又y=xα在(0,+∞)上单调递减,所以α<0,取α=-1. 答案:-1 考点一　幂函数的图象和性质 1.若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是(　C　) 解析:设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=. 所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数, 当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,C正确.故选C. 2.(2023·贵州镇远县文德民族中学模拟预测)已知函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m=(　A　) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 解析:依幂函数定义,有m2-m-1=1,所以m=2或m=-1, 当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减, 当m=-1时,f(x)=x0=1在(0,+∞)上不单调递减,舍去.所以m=2.故选A. 3.(2023·四川广安模拟预测)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数 m=　　　　.  解析:由