第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [考试要求] 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断应用函数的周期性. 1.函数的奇偶性 项目 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [重要结论] 1.奇偶性的常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),x∈R,a>0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a. (3)若f(x+a)=,则函数的一个周期为2a. (4)若f(x+a)=-,则函数的一个周期为2a. 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(　　) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(2023·云南曲靖一中模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2 022)=(　B　) A.-3 B.0 C.1 D.3 解析:由于f(x)为奇函数,且f(x)=f(3-x),所以f(3+x)=f(-x)=-f(x), 从而知周期T=6,所以f(2 022)=f(0)=0.故选B. 3.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=　　　　.  解析:f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 答案:-2 4.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln +b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.  解析:因为函数f(x)=ln +b为奇函 数,所以其定义域关于原点对称.由a+≠0可得,(1-x)(a+1-ax)≠0,所以=-1,解得a=-,即函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),再由f(0)=0可得b=ln 2,即f(x)=ln +ln 2=ln 在定义域内满足f(-x)=-f(x),符合题意. 答案:-　ln 2 考点一　函数的奇偶性 [例1] (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 (2)(2023·四川内江模拟预测)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x) 的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　　　　　.  解析:(1)因为f(x)===-1+,所以函数f(x)图象的对称中心为(-1,-1),所以将函数f(x)的图象向右平移一个单位长度,向上平移一个单位长度,得到函数y=f(x-1)+1的图象,该函数图象的对称中心为(0,0),故函数y=f(x-1)+1为奇函数.故选B. (2)由题图可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f