第二章 第2节 函数的单调性与最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　函数的单调性与最值 [考试要求] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义. 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图像描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义. 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 [重要结论] 1.若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数. 2.函数y=f(x)(f(x)恒正或恒负)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 3.“对勾函数”y=x+(a>0)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞);单调递减区间是[-,0),(0,]. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) (2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (3)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞).(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)函数f(x)的图象如图所示,则(　A　) A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数 B.函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数 C.函数f(x)在区间[-1,4]上是减函数 D.函数f(x)在区间[2,4]上是增函数 解析:由题图可知函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数.故选A. 3.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A.f(x)=-x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:由一次函数的性质可知f(x)=-x在R上是减函数,不符合题意; 由指数函数的性质可知f(x)=()x在R上是减函数,不符合题意; 由二次函数的性质可知f(x)=x2在R上不单调,不符合题意; 根据幂函数的性质可知f(x)=在R上单调递增,符合题意.故选D. 4.(2023·云南昆明一中模拟)函数f(x)=9x2+的最小值为　　　　.  解析:因为f(x)的定义域为[1,+∞),且y=9x2与y=在区间[1,+∞)上均为增函数, 所以f(x)在区间[1,+∞)上是增函数, 故f(x)min=f(1)=9. 答案:9 考点一　确定函数的单调性(单调区间) 1.(2023·北京人大附中模拟)下列函数中,在(0,+∞)上为减函数的是(　D　) A.f(x)=x-3 B.f(x)=2x-x2 C.f(x)=- D.f(x)=-|x| 解析:由一次函数的性质可知f(x)=x-3在(0,+∞)上为增函数,故A错误; 由二次函数的性质可知f(x)=2x-x2的图象开口向下,对称轴为直线x=1, 所以函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故B错误; 由反比例函数的性质可知f(x)=-在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增, 其在(0,+∞)上为增函数,故C错误; 由f(x)=-|x|=知函数在(0,+∞)上为减函数,故D正确.故选D. 2.(2023·云南大理模拟预测)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　D　) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 解析:由x2-2x-8>0,得f(x)的定义域为{x|x<-2或x>4}.设t=x2-2x-8,则y=ln t为增函数. 要求函数f(x)的单调递增区间,即求函数t=x2-2x-8的单调递增区间(定义域内). 因为函数t=x2-2x-8在(4,+∞)上单调递增,在(-∞,-2