第一章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件 [考试要求] 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系. (2)四种命题的真假关系. ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp [重要结论] 1.充分条件、必要条件与集合之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}. (1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (3)若A=B,则p是q的充要条件. 2.p是q的充分不必要条件,等价于﹁q是﹁p的充分不必要条件. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)“x2+2x-3<0”是命题.(　　) (2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(　　) (3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(　　) (4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.(2023·贵州贵阳模拟)已知命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,则命题α是命题β的(　A　) A.否命题 B.逆命题 C.逆否命题 D.否定形式 解析:两个命题之间只是条件、结论都作出否定,故互为否命题.故选A. 3.(2022·浙江卷)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:法一　由sin x=1,得x=2kπ+(k∈Z),则cos(2kπ+)=cos =0,故充分性成立;又由cos x=0,得x=kπ+(k∈Z),而sin(kπ+)=1或-1,故必要性不成立,所以“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件.故选A. 法二　由sin x=1,得x=2kπ+(k∈Z),则cos(2kπ+)=cos =0,故充分性成立;又cos =0,sin =-1,故必要性不成立,所以“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件.故选A. 4.(教材改编题)命题“若a<0,则一元二次方程x2+x+a=0有实根”与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是　　　　.  解析:当a<0时,Δ=1-4a>0,所以方程x2+x+a=0有实根,故原命题为真;根据原命题与逆否命题真假性一致,可知其逆否命题为真;逆命题为:“若一元二次方程x2+x+a=0有实根,则a<0”,因为方程有实根,所以判别式Δ=1-4a≥0,所以 a≤,显然a<0不一定成立,故逆命题为假;根据否命题与逆命题真假性一致,可知否命题为假.故真命题有2个. 答案:2 考点一　命题及其关系 1.(2023·云南昆明模拟)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是(　B　) A.若a+c≤b+c,则a≤b B.若a≤b,则a+c≤b+c C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c 解析:将条件和结论都进行否定,即命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选B. 2.(2023·贵州铜仁模拟预测)下列命题: ①“若a≤b,则a<b”的否命题; ②“若a=1,则ax2-x+3≥0的解集为R”的逆否命题; ③“周长相同的圆面积相等”的逆命题; ④“若x为有理数,则x为无理数”的逆否命题. 其中真命题的序号为(　B　) A.②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 解析:对于①,命题的逆命题为“若a<b,则a≤b”,故逆命题为真,所以否命题为真; 对于②,若a=1,则x2-x+3=(x-)2+≥0恒成立,故不等式ax2-x+3≥0的解集为R,即原命题为真,故逆否命题为真; 对于③,“面积相等的圆周长相同”为真命题; 对于④,“若x为有理数,则x为0或无理数”,故原命题为假,逆否命题为假.故选B. 3.(2023·广西柳州模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点,则f(0)·