2.2基本不等式(第二课时) 2023-2024学年高一数学同步课件(人教A版2019必修第一册)

2.2 基本不等式（第二课时） 基本不等式的应用 第二章 一元二次函数、方程和不等式 一 二 三 学习目标 掌握基本不等式及其变形公式 利用基本不等式解决生活中简单的最值问题 利用基本不等式解决几何最值问题 学习目标 复习回顾 上节课学习的主要内容有哪些？ 1、重要不等式与基本不等式的内容： 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、基本不等式的应用： 求最值 新课导入 基本不等式在解决实际问题中有广泛的运用，是解决最大（小）值问题的有利工具。 我们这节课将在掌握基本不等式的内容后进一步学习，运用于生活中的实例。 另外，我们还要学习一些利用基本不等式解决不同类型的数学问题。 新知探究：基本不等式的实际应用 例1 (1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？ 分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短. 解: 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m, y m，篱笆的长度为2(x+y)m. (1) 由已知得xy= 100. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y 例1（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 分析：（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大. 解: (2) 由已知得2(x+y)= 36，则 矩形菜园的面积为xy m2. x+y=18 当且仅当x=y时，等号成立 即x=y=9 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2. （利用基本不等式解决实际问题） 设出未知数x,y,根据已知条件，列出关系式，然后利用函数的思想或基本不等式解决相应的问题。（注意运用基本不等式讲究“一正二定三等”） 新知探究：基本不等式的实际应用 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 m， m，水池的总造价为z元。根据题意，有 由容积为4800 m3，可得 因此 所以， 当，上式等号成立，此时z。 所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价为297600元。 新知探究：基本不等式的实际应用 典型例题：拼凑法求最值 例3 关键：凑项构造“积定” 例4 已知 ,求 的最大值. 解：因为 ,所以 , 所以 当且仅当 ,即 时,等号成立， 所以 的最大值为 . 典型例题：拼凑法求最值 ≤ 跟踪练习 暗含和定：x+(10-x)=10 构造和定：4x2+(1-4x2)=1 构造和定：3x+(3-3x)=3 和一定积最大 暗含和定：(3-x)+(x+5)=8 典型例题：常数代换法求最值 例5 （1）已知 ,则 的最小值为( ) A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 （2）已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为_ __. 解： 因为 , , , 所以 , 当且仅当 ,即 , 时，等号成立. 所以 的最小值为24.故选C. 解 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立， 所以 的最小值为17. 关键:添1构造“积定” 16 9 例6 典型例题：常数代换法求最值 典型例题：利用基本不等式证明不等式 例7(1) 已知 , 都是正数，求证： ； 易得 （当且仅当 时，等号成立）， （当且仅当 时，等号成立）， 则 （当且仅当 时，等号成立）. 证明 例7（2） 已知 ， ， 均为正数，且 ，求证： . 证明 ， ， ，且 ， ，当且仅当 时，取“ ”, . 典型例题：利用基本不等式证明不等式 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 2.利用基本不等式求最值时， 注意把握 “一正，二定，三相等” 1. 基本不等式 $$