函数模型及其应用讲义-2024届高三数学二轮专题复习

函数模型及其应用

1.几种常见的函数模型：

函数模型	函数解析式
一次函数模型	，为常数且
反比例函数模型	，为常数且
二次函数模型	，，为常数且
指数函数模型	，，为常数，，，
对数函数模型	，，为常数，，，
幂函数模型	，为常数，

 

2.解函数应用问题的步骤：

(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;

(3)解模：求解数学模型，得出结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

考点一 二次函数模型，分段函数模型

1、中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，期中药材资源的再生量，其中为期中药材资源的存量，，为正常数，而期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（    ）

A．     B． C． D．

 

2、日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净

化到纯净度为时所需费用(单位:元)为．设将水净化到纯净度为，时，所需净化费用的瞬时变化率分别为，，则（    ）

A．     B．16 C． D．25

 

3、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论:

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是         ．

 

 

4、某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题:

(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．

 

 

 

 

5、某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力指标.该小组发现随时间的变化规律(越大，表示学生的注意力越集中)如下：

若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：

(1)求的值；

(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；

(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？

考点二 对勾函数模型

1、小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元.在年产量不足8万件时，(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

(1)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？