3.2.1函数的单调性（第1课时）导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高  一  年级   数学     学科导学案

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课题：函数的单调性（第1课时）

【学习目标】1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性

2. 理解单调性的作用和实际意义

【重点难点】函数单调性的求解

【学习流程】

◎基础感知

回顾 函数的概念，图像

◎探究未知

知识点一　增函数、减函数的概念

设函数y＝f(x)的定义域是D：

(1)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是增函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增．

(2)如果对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数y＝f(x)是减函数．特别地，当I是定义域D上的一个区间时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减．

记忆点：1．对区间D的要求

函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．

2．x1，x2的三个特征

(1)同区间性，即x1，x2∈D；

(2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代替x1，x2；

(3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2.

3．自变量的大小与函数值的大小关系

(1)单调递增：x1<x2⇔f(x1)<f(x2)；

(2)单调递减：x1<x2⇔f(x1)>f(x2)．　　

例1、下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)的是________(填序号)．

①f(x)＝x2；②f(x)＝； ③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1.

知识点二　函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I为函数y＝f(x)的单调区间．

记忆点：1．函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性．　　　　

2．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，不能认为y＝(x≠0)的单调减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

例2、如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．

例3、若函数f(x)＝ax－3在R上单调递增，则a的取值范围为________．

二、利用定义判断或证明函数的单调性

方法技巧：利用定义证明函数单调性的步骤

1、取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2

2、作差变形：作差或，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式

3、定号：确定差或的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论

4、结论：根据定义得出结论

例4、判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．

 

 

 

 

跟踪训练：1．(多选)下列函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A．y＝|x|＋1　　B．y＝      C．y＝－  D．y＝x＋

2．利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．