江西省宜春市铜鼓中学2022-2023学年高二下学期数学周练7

 

江西省铜鼓中学2024届高二下学期数学周练7

试卷满分：110分  考试时间：90分钟

一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1.  已如集合,,则( )

A.  B.  C.  D.  

2.  下列选项中,是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是( )

A.  B.  C.  D.  

3.  已知各项均为正数的等比数列,满足,,成等差数列,则的值是( )

A.  B.  C.  D.  

4.  从至这个整数中随机取个不同的整数,则这三个数能作为锐角三角形三边长的概率为( )

A.  B.  C.  D.  

5.  已知为双曲线的右焦点,为的左顶点,过点且斜率为的直线与交于另一点,且垂直于轴.则的离心率为( )

A.  B.  C.  D.  

6.  已知函数满足(其中是的导函数),若,,,则下列选项中正确的是( )

A.  B.  C.  D.  

6.（实验班）  设,,,则( )

A.  B.  C.  D.  

二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。少选得2分，有错误选项得0分）

7.  已知函数,若函数的图象在处切线的斜率为,下列结论中正确的是( )

A.  B. 有极大值
C. 有最大值 D. 有最小值

8.  正方体的棱长为,,,分别为,,的中点,则( )
      

A. 直线与直线垂直 B. 直线与直线异面
C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点到平面的距离为

8.（实验班）  金刚石是天然存在的最硬的物质,如图所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图,组成金刚石的每个碳原子,都与其相邻的个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看,可以认为个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处,而中间的那个碳原子处于与这个碳原子距离都相等的位置,如图所示.这就是说,图中有,若正四面体的棱长为,则( )
      

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

9.  函数在处的切线平行于直线,则切线在轴上的截距为__________.

10.  已知点在抛物线:上,过作的准线的垂线,垂足为,点为的焦点,若,点的横坐标为,则__________.

10.（实验班）  已知为坐标原点,抛物线的焦点为,为上一点,与轴垂直,为轴上一点,且.若,则的准线方程为__________.

 

 

四、解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分）

11.  已知数列的前项和为,且满足,.
       (1)若,,成等比数列,求的值;
       (2)设,求数列的前项和.

 

12.  如图,四棱锥中,侧面等边三角形且垂直于底面,
      ,.
      
       (1)证明:;
       (2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.

 

13.  学校举办的集体活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得分、分、分的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择得到相应的分数,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部分数都归零,游戏结束.设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为,,,选手选择继续闯关的概率均为,且各关之间闯关成功互不影响.
       (1)求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率;
       (2)设该学生所得总分数为,求的分布列与数学期望.

 

14.  已知椭圆的上顶点为,右顶点为,其中的面积为(为原点),椭圆离心率为.
       (1)求椭圆的方程;
       (2)若不经过点的直线与椭圆交于,两点,且,求证:直线过定点.

 

 

 

 

15.  已知函数.
       (1)当时,求在区间上的最值;
       (2)若在定义域内有两个零点,求的取值范围.

15.（实验班）  已知函数.
       (1)若,求的值;
       (2)证明:对于任意正整数,.

 

答案和解析

 第1题：

【答案】C

【解析】,,∴.
 

 第2题：

【答案】A

【解析】令,其图象开口向上,
       ∵不等式在上恒成立,
       ∴,解得,
       又∵,
       ∴是的必要不充分条件,
 

 第3题：

【答案】D

【解析】设各项均为正数的等比数列的公比为,且,由,,成等差数列,可得,即,所以,解得或(舍去),所以.
 

 第4题：

【答案】C

【解析】由题可知,从至这个整数中随机取个不同的整数,共有种组合,
要这三个数能作为锐角三角形三边长,设三角形的三边长为,且,
       由余弦定理可知,只需满足即可;
       三角形的三边长为时,,满足题意;
       三角形的三边长为时,,满足题意;
       三角形的三边长为时,,满足题意;
       三角形的三边长为时,,满足题意;
       三角形的三边长为时,,满足题意;
       三角形的三边长为时,,满足题意;
       所以,共种组合满足题意;
       即能作为锐角三角形三边长的概率为.
       故选:C.
 

 第5题：

【答案】B

【解析】联立,解得,所以,
       依题可得,,即,
       整理得,所以双曲线的离心率为.
       故选:B.
 

 第6题：

【答案】A

【解析】由,得,

       令,,则
      ,
       所以在上恒成立,
       所以在上为减函数,
       因为,且在上单调性递增;
       所以,
       所以,
       所以,
       所以,即.
       故选:A.
 

 第6题（实验班）：

【答案】B

【解析】由,得,,
       设,令,则,
       ∴在单调递减,单调递增,∴,∴,
       ∴,
       同理可证:,∴,
       当时,,∴,
       设,则,∴在单调递减,
       ∴,∴,∴,
       又∵,用替代,得,∴,
       ∴,∴,∴,∴,故选B.
 

 第7题：

【答案】A,B,D