函数的方程与零点讲义-2024届高三数学二轮专题复习

函数的方程与零点

1.函数的零点

(1)函数零点的定义 

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

(2)零点存在性定理:

一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根.

(3)相关结论:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

2.二分法

(1)对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)对于给定精确度，利用二分法求函数零点近似值的步骤如下:

①确定区间，验证，给定精确度;

②求区间的中点;

③计算;

a.若，则就是函数的零点;

b.若，则令(此时零点);

c.若，则令(此时零点).

④判断是否达到精确度，即:若，则得到零点近似值(或);

否则重复②③④.

 

 

 

 

3.二次函数图象与零点的关系

 

4.嵌套函数（复合函数零点问题）

在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．

考点一 零点所在区间

1、用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点         ，第二次应计算的的值为         ．

 

2、函数的零点所在的区间是（    ）

A．      B． 

C．  D．

 

3、已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（    ）

 

A．      B． 

C．  D．

 

4、设，，函数，若函数恰有3个零点，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

 

 

5、函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

 

6、若，则的两个零点分别位于区间（    ）

A． 和内     B．和内  

C．和内  D． 和内