基本初等函数讲义-2024届高三数学二轮专题复习

基本初等函数

1.指数及指数运算

(1)根式的定义：

一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．

(2)根式的性质：

当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.

当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.

(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.

(4)有理数指数幂的分类

①正整数指数幂； ②零指数幂；

③负整数指数幂，；  ④的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂没有意义．

(5)有理数指数幂的性质

①，，；        ②，，；

③，，；   ④，，．

(6)注意事项：对于根式记号，要注意以下几点：

①，且；   ②当是奇数，则；当是偶数，则；

③负数没有偶次方根； ④零的任何次方根都是零．

⑤指数的运算和逆运算，遇到多重根号问题，需要先写成指数形式：

例：；．

⑥指数的逆运算过程：．

2.对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

(3) 对数的性质和运算法则：

①特殊对数：；；其中且

②对数恒等式：(其中且，)

③对数换底公式： 如：．

(4)对数的运算法则：

①外和内乘原理：；      

②外差内除原理：；

③提公次方法：，；   

④指中有对，没心没肺：和  如：，．

(5)换底公式和对数运算的一些方法：

①常用换底：   如：．

②倒数原理：   如：．

③约分法则： 如： ；．

④归一法则：．

3.指数函数的定义及图像

 

(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．

(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．

当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．

(3)指数函数与的图象关于轴对称．

函数①；②；③；④的图象如图2-3-1所示，则；

即，(底大幂大)；时，．