函数的基本性质讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的基本性质

1.函数的单调性:

（1）单调函数的定义

一般地，设函数的定义域为，区间:

如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．

如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．

①属于定义域内某个区间上;

②任意两个自变量，且;

③都有或;

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

（2）单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

2．函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

判断与的关系时，也可以使用如下结论:如果或，则函数为偶函数;如果或，则函数为奇函数．

注意:由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．

3．函数的对称性

(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．

(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．

(3)若，则函数关于对称．

(4)若，则函数关于点对称．

4.函数的周期性

（1）周期函数:

对于函数，如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.

（2）最小正周期:

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

考点一 函数的单调性及其应用

考向1.证明函数单调性的步骤

(1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；

(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；

(4)得出结论．

考向2.函数单调性的判断方法

(1)定义法:根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．

(2)图象法:就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

(3)直接法:就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．

(4)记住几条常用的结论:

①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；

③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．

 

1、 判断函数，的单调性并说明理由.

 

 

2、设函数，则（    ）

A．是奇函数，且在单调递增     B．是奇函数，且在单调递减 

C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减

 

 

3、已知函数，则（    ）

A．是奇函数，且在上是增函数     B．是偶函数，且在上是增函数

C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数

4、已知函数.

(1)若函数的值域为,求实数的取值范围;

(2)若函数在区间上严格增,求实的取值范围.

 

 

5、已知函数.

(1)当时，求的最小值；