专题18 直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十四章 圆 专题18 直线与圆的位置关系重难点题型专训（十二大题型） 【题型目录】 题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 已知直线与圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线与圆的位置关系求圆心角到直线的距离 题型四 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型五 切线的判定定理 题型六 切线的性质定理 题型七 切线的性质与判定定理 题型八 切线长定理的应用 题型九 三角形内心的有关应用 题型十 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十一 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十二 圆的综合问题 【知识梳理】 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 2.切线的判定与性质 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 点拨：切线必须满足两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径，两个条件缺一不可。 （2）性质定理：圆的切线垂直于过点的半径。 拓展 推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ②经过切点且垂直到切线的直线必经过圆心。 圆的切线性质定理与它的两个推论涉及一条直线满足的三个条件：（1）垂直于切线；（2）过切点；（3）过圆心，如果一条直线满足于以上三个条件中的任意两个，那么它一定满足另外一个条件，也可理解为“二推一”。 3.三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 总结： 4．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定 设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外离 外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外切 相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交 内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． 两圆内切 内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 两圆内含 说明：圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 【经典例题一 判断直线与圆的位置关系】 1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（2023春·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，，，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 3．（2023春·河北秦皇岛·九年级统考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是 ．    4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，以为直径作，延长到点，使，点是上的动点，线段的中点为，点为上一动点． （1）直线与的位置关系为 ； （2）的最小值为