专题21 圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第二十四章 圆 专题21 圆中的计算与证明经典综合大题专训（六大题型） 【题型目录】 题型一 圆的对称性相关的综合大题 题型二 确定圆的条件相关的综合大题 题型三 圆周角的综合大题 题型四 直线与圆的位置关系相关的综合大题 题型五 正多边形与圆相关的综合大题 题型六 弧长及扇形面积综合大题 【经典例题一 圆的对称性相关的综合大题】 1．（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，C，D是直径上的两点，且，交于C、D，点E，G，F，H在上． (1)若，求半径； (2)求证：； (3)若C，D分别为的中点，则成立吗？请说明理由． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E， (1)求证：． (2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长． 3．（2023·全国·九年级专题练习）【教材呈现】以下是浙教版八年级下册数学教材第85页的部分内容．先观察下图，直线l1l2，点A，B在直线l2上，点C1，C2，C3，C4在直线l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系？请说明理由。 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，，，用含x的代数式表示； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 4．（2023秋·浙江温州·九年级期末）已知，、是的两条弦，，过圆心作于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2：当、、三点在一条直线上时，求的度数． （3）如图3，在（2）的条件下，点为劣弧上一点，，，连结、交于点，求和的长． 5．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）请阅读下面材料，并完成相应的任务． 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．    阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），．M是的中点，则从点M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接． ∵M是的中点， ∴． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图3，已知等边三角形内接于，D为上一点，．于点E，，连接，求的周长． 【经典例题二 确定圆的条件相关的综合大题】 6．（2023·陕西·模拟预测）新定义：如图1（图2，图3），在中，把边绕点A顺时针旋转，把边绕点A逆时针旋转，得到，若，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 (1)①若是等边三角形（如图2），，则______________． ②若（如图3），， _____________． 【猜想论证】 (2)在图1中，当是任意三角形时，猜想与的数量关系，并证明你的猜想；（提示：过点作且，连接，则四边形是平行四边形） 【拓展应用】 (3)如图4，点A，B，C，D都在半径为5的圆P上，且与不平行，，是的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，求BC的长． 7．（2023秋·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料： 已知实数m，n满足 ，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，所以，因为，所以,上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x、y满足 ，求值； (2)已知的三边为a、b、c（c为斜边），且a、b满足，外接圆的半径． 8．（2023春·湖北武汉·九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上． 9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 10．（2023春·八年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F