微专题：圆锥曲线中的定点、定值、证明和探索性问题导学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

高  二  年级   数学     学科导学案

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微专题：圆锥曲线中的定点、定值、证明和探索性问题

【学习目标】1.清楚直线与圆锥曲线的位置关系相关问题.

3.加强数形结合思想的训练与应用.

【重点难点】圆锥曲线中的探索性问题

【学习流程】

◎基础感知

◎探究未知

题型一、定点问题 （重点）

（1）探索直线过定点时，可先设直线方程为y=kx+b，再利用条件建立b,k的等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.

（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

方法技巧：直线过定点问题的解题模型步骤

①：根据条件设出相关参数，如设出直线的斜率

②：利用题设条件，求直线系方程

③：联立直线与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系求出定点坐标

④：判断定点的坐标满足所求的直线系方程，即可证出直线过该定点

例1 已知直线l与抛物线y2=4x交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率之积为-1，则直线l恒过定点（   ）

A （4，0）   B （0，4）    C  (0,-4)   D （-4，0）

 

跟踪训练：1、已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．　

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．

 

 

 

 

 

 

 

 

题型二、定值问题 （重点）

解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形的面积，角的度数，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.求定值问题常见的方法有两种：

1、从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

2、直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值

例2 设P是椭圆C：上的动点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，I为的内心，则直线IF1和直线IF2的斜率之积（    ）

A 是定值                   B 非定值，但存在最大值

C 非定值，但存在最小值     D 非定值，且不存在最值

 

跟踪训练：2、(2018·北京高考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1，2)．过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.

(1)求直线l的斜率的取值范围；

(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值．

 

 

 

 

 

 

 

反思感悟：解决圆锥曲线定值问题的方法

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值