3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版数学选择性必修第一册 3.1.1椭圆及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题.(难点) 学 习 目 标 椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质,在科研生产和人类生活中具有广泛的应用,那么椭圆到底有怎样的几何性质,我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程,从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。 情 境 导 入 取一条定长的细线,把它的两端都固定在图板 的同一点套上铅笔拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板中的两点F1,F2 , 套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? 情 境 导 入 常数(大于|F1F2|) 两个定点 两焦点间的距离 一半 知 识 精 讲 情 境 导 入 观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单? 情 境 导 入 一般地,如果椭圆的焦点为,焦距为2,而且椭圆上的 动点P满足,=2,其中>>0. 以 所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,椭圆的焦点分别为 ,0). 知 识 精 讲 =2. ① ①,我们将其左边一个根式移到右边,得 对方程两边平方,得= 整理,得= ③ 对方程③两边平方,得= 整理得 ④ 将方程④两边同除以,得 ⑤ 由椭圆的定义可知>>0 ,即>>0,所以. 情 境 导 入 观察图,你能从中找出表示,的线段吗? 情 境 导 入 由图可知,=,=c 令,那么方程⑤就是 (>>0) ⑥ 称⑥式为焦点在轴上的椭圆方程. 情 境 导 入 设椭圆,焦距为2,而且椭圆上的动点P满足=2其中>>0. 以 所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时: (1)椭圆焦点的坐标分别是什么? (2)能否通过 (>>0) 来得到此时椭圆方程的形式? (>>0),称焦点在轴上的椭圆方程. 情 境 导 入 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c关系 b2=a2-c2 知 识 精 讲 1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1或=1 2. 椭圆+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( ) A.(±,0) B.(0,±) C. D. 课 堂 练 习 解析: (1) 易得为D选项. (2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2, 结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8. 答案:(1)D (2)D (3)C 课 堂 练 习 例1. 已知､是定点,.若动点满足,则动点的轨迹是( ) 直线 B.线段 C.圆 D.椭圆 【答案】B 【解析】对于在平面内,若动点到、两点的距离之和等于6,而6正好等于两定点、的距离,则动点的轨迹是以,为端点的线段. 故选:B. 典 例 精 析 椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断曲线是否为椭圆的限制条件. 归 纳 总 结 跟踪训练1.若椭圆上一点P到左焦点的距离为5,则其到右焦点的距离为( ) A.5 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析】由题意a=3,P点到右焦点的距离为2a-5=1. 课 堂 练 习 例2.(1)如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是( ) B.(0,2) C. D. (2)方程表示椭圆,则实数的取值范围( ) A. B. C. D.且 典 例 精 析 【答案】(1)A(2)D 【解析】(1)转化为椭圆的标准方程,得,因为表示焦点在轴上的椭圆,所以,解得.所以实数的取值范围是.选A. (2)方程表示椭圆,若焦点在x轴上,;若焦点在y轴上,.综上:实数的取值范围是且,故选:D 典 例 精 析 把方程写成椭圆的标准方程形式,得到形式,要想表示 焦点在轴上的椭圆,必须要满足,解这个不等式就可求出实数的取值范围. 焦点在x轴上的椭圆,必须要满足A>B>0,解这个不等式就可求出实数的取值范围. 椭圆,必须要满足解这个不等式就可求出实数的取值范围. 归 纳 总 结 跟踪训练2.“”是“方程表示椭圆”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】