9-3 二项式定理 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

9-3 二项式定理 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 9-3 二项式定理 1 一、主干知识 1 考点1：二项式定理 2 考点2：二项式系数的性质 2 【常用结论总结】 2 二、分类题型 3 题型一 通项公式的应用 3 命题点1　求二项展开式及其特定项 3 命题点2　求二项展开式的第k项 4 题型二 二项式系数与项的系数的问题 5 命题点1　二项式系数和与系数和 5 命题点2　系数与二项式系数的最值问题 6 题型三 二项式定理的综合应用 7 三、分层训练：课堂知识巩固 9 一、主干知识 考点1：二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 考点2：二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n. 【常用结论总结】 1．两个常用公式 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 二、分类题型 题型一 通项公式的应用 命题点1　求二项展开式及其特定项 【例题精析1】 已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．2 【例题精析2】 的展开式中常数项为 . 【例题精析3】 的展开式中常数项为 ． 【对点精练1】 二项式的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【对点精练2】 在展开式中，常数项为 .（用数值表示） 【对点精练3】 在展开式中常数项是 ．(用数值回答) 【对点精练4】 的二项展开式中项的系数为 . 【对点精练5】 展开式中的常数项为 . 命题点2　求二项展开式的第k项 【例题精析4】 的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【例题精析5】 在的二项展开式中，第四项为 ． 【例题精析6】 已知展开式中第5项为常数项，则n＝ . 【例题精析7】 的展开式中常数项为 . (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 【对点精练6】 将展开后按的升幂排列，则第3项为 . 【对点精练7】 若在的展开式中，第4项是常数项，则 ． 【对点精练8】 展开式的常数项为 . 题型二 二项式系数与项的系数的问题 命题点1　二项式系数和与系数和 【例题精析8】 已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（    ） A．―4 B．84 C．―280 D．560 【例题精析9】 已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 . 【例题精析10】 在的展开式中，的系数是 . 【例题精析11】 若，则 . 【例题精析12】 已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 【例题精析13】 在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ． 【对点精练9】 若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 . 【对点精练10】 设二项式的展开式中常数项为A，则 ． 【对点精练11】 的展开式中的系数为 ． 【对点精练12】 在二项式的展开式中，项的二项式系数为 ． 【对点精练13】 的展开式中，项的系数为 ．（用数字作答） 【对点精练14】 的展开式中项的系数为 . 【对点精练15】 在的展开式中，的系数为 . 【对点精练16】 已知的二项式系数