3.2 函数的单调性与奇偶性及其运用 (题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年高一上学期数学期中期末复习讲练系列【考点闯关】（2019人教A版）

3.2 函数的单调性与奇偶性及其运用 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用． 3.了解函数奇偶性的含义 4.会依据函数的性质进行简单的应用． 3.2 函数的单调性与奇偶性及其运用 1 一、主干知识 2 考点1：函数的单调性 2 考点2：函数的最值 2 考点3：函数的奇偶性 3 二、分类题型 6 题型一 确定函数的单调性 6 命题点1　定义法判断或证明函数的单调性 6 命题点2　图像法判断或证明函数的单调性 17 命题点3　求具体函数的单调区间 22 题型二 函数单调性的应用 27 命题点1　比较函数值的大小 27 命题点2　求函数的最值 28 命题点3　解不等式 36 题型三 函数奇偶性及其应用 44 命题点1　函数奇偶性的定义与判断 44 命题点2　由奇偶性求函数解析式 47 命题点3　函数奇偶性的应用 49 命题点4　抽象函数的奇偶性 50 命题点5　由奇偶性求参数 52 命题点6　由奇偶性解不等式 54 命题点7　奇偶函数对称性的应用 58 三、分层训练：课堂知识巩固 66 一、主干知识 考点1：函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 考点2：函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I， 都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I， 使得f(x0)＝M (1)∀x∈I， 都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I， 使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 考点3：函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 【常用结论】 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 1.单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2.奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数