24.2 与圆有关的位置关系（知识题型精讲测）-2023-2024学年九年级数学上册同步精讲之知识总汇与题型归类（人教版）

24.2 与圆有关的位置关系 1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定；会画三角形的外接圆，熟识相关概念. 2.理解直线与圆的各种位置关系, 会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 4.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 5.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 知识点1　 点与圆的位置关系 ★★☆ 点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 （1）点P在圆内（2）点P在圆上 （3）点P在圆外 知识点2　 过已知点的圆 ★★☆ 1.过一个点（如点A):以点A以外的任意一点为圆心，用这一点与点A的距离为半径就可以作出如图①所示的圆. 2.过两个点（如点A,B):以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，这一点与点A(或点B)的距离为半径，就可以作出如图②所示的圆， 3.过不在同一直线上的三点（如点A,B,C):圆心为线段AB、BC的垂直平分线的交点，不妨设为O,以O为圆心，OA(或OB、OC)的长为半径可作出经过A、B、C三点的圆，这样的圆有且只有一个。 知识点3　 三角形的外接圆与外心 ★★☆ 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 知识点4　 直线与圆的位置关系 ★★☆ 直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 【例题精析1】 三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 【例题精析2】 已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是（    ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【例题精析3】 已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【例题精析4】 若所在平面内一点到上的点的最远距离为5，最近距离为3，则此圆的半径为 ． 【对点精练1】 已知点到上所有点的距离中，最大距离为7厘米，最小距离为3厘米，那么 的半径长等于 厘米． 【对点精练2】 的半径为5，圆心O的坐标为，点P的坐标为，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．点P在上或外 【对点精练3】 如图，抛物线与轴负半轴交于点A，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段PA的中点，连接，则线段的最小值是（　　）    A． B．2 C． D． 知识点5　 直线和圆的位置关系的性质与判定 ★★☆ 直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系． 下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和相交；（2）直线l和相切；（3）直线l和相离； 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点6　 切线的性质定理 ★★★ 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过