单元提分专题05 等腰三角形压轴题－2023-2024学年八年级数学上册单元测试定心卷（苏科版）

专题05 等腰三角形压轴题提分题 （原卷） 1．如图，，，点E是上一点，，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的度数． 2．在中，，点分别在边上，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的角度． 3．如图，一条船上午时从海岛出发，以海里时的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处，分别从，处望灯塔，测得，．    (1)求海岛到灯塔的距离； (2)若这条船到达海岛处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔的距离最短？ 4．如图所示，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点A以的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为．    (1)你能用含的式子表示和的长度吗？请你表示出来． (2)请问几秒后，第一次为等边三角形？ (3)若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒后点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 5．如图，是的两条高，P是边的中点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 6．【概念学习】 规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．    (1)【概念理解】 如图1，在中，，，平分， 则与　　（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，．求证：为的等腰分割线； (3)【概念应用】 在中，，是的等腰分割线，直接写出的度数． 7．如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；    (1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数． (2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由． (3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． (4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______； 8．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 9．如图①，已知，平分．将直角三角板如图放置，使直角顶点在上，角的顶点在上，斜边与交于点（与不重合），连接． (1)如图②，若，求证：为等边三角形． (2)如图③，求证：． 10．如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作．使得，，连接． (1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论； (2)延长交的延长线于点F，若， ①利用（1）中的结论求出的度数； ②当是等腰三角形时，直接写出的度数； (3)当D在线段上时，若线段，面积为3，则四边形周长的最小值是 ． 11．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：． (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明． 12．已知：为等边三角形，D为射线上一点，E为射线上一点，． (1)如图1，当点D为线段的中点，点E在的延长线上时，请直接写出、、之间的数量关系_________________________； (2)如图2，当点D为线段上任意一点，点E在的延长线上时，、、之间有何数量关系？请说明理由． (3)如图3，当点D在的延长线上，点E在线段上时，、、之间又有何数量关系？请说明理由． 13．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是直线BC、AC上的点． (1)如图①，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，求证：AD＝BE； (2)如图②，当点D在CB的延长线上，点E在AC的延长线上时，CF为△ABC的高线，且BD＝CE，求证：CD＝2AF＋CE； (3)如图③，当点D、E分别在线段BC、AC上时，BE与AD相交于点F，且∠AFE＝60°，恰好CF为△ADC的高线，BF＝35，DF＝5．求EF的长． 14．数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题： 在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系． (1)初步尝试 如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由． (2)类比探究 如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构