素养拓展27 立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展27 立体几何中的折叠和探索性问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 1.折叠问题 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 2.探索性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。 二、题型精讲精练 【典例1】如图所示的五边形中是矩形，，，沿折叠成四棱锥，点是的中点，． (1)在四棱锥中，可以满足条件①；②；③，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面底面；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．） (2)在（1）的条件下求直线与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到，进而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得证； 选条件①③，利用正弦定理得到，进而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得证； 选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到，进而得到底面，利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得． 【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②． 因为在四棱锥中，点是的中点，，所以， 又因为在中，，所以， 又因为是矩形，，所以，， 由可得，所以， 则由，，，平面，所以平面，又因为侧面，所以侧面底面； 方案二：选条件①③． 因为在四棱锥中，点是的中点，，所以， 又因为在中，， 所以由正弦定理得：，即，所以，即，所以， 则由，，，平面，所以平面，又因为侧面，所以侧面底面； 方案三：选条件②③． 因为在四棱锥中，点是的中点，，所以， 又因为在中，，所以， 又因为是矩形，，所以， 又因为在中，，则， 设，， 所以有，解得或（舍，所以， 由可得，所以， 则由，，，平面，所以平面，又因为侧面，所以侧面底面； （2）在（1）条件下知平面，且， 故如图所示：以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为，则，则， ， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 【典例2】如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)在线段PB上是否存在点M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)先证明平面ABCD,则 PG为四棱锥的高,再应用体积公式 ； (2)先过点C作交AB于点N，过点N作交PB于点M,再证平面平面CMN，最后得出比值成立即可. 【详解】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示． 在中，，G是AD的中点，所以． 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD， 所以平面ABCD，即PG为四棱锥的高． 又平面ABCD，所以． 在中，由余弦定理得 ，故． 在中，，，，所以． 所以． （2）过点C作交AB于点N，则， 过点N作交PB于点M，连接CM，则． 又因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD． 因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD． 又，，平面CNM，所以平面平面CMN． 又平面CMN，所以平面PAD． 所以在PB上存在点M，使得平面PAD，且． 【题型训练-刷模拟】 1.折叠问题 一、解答题 1．（2023·四川泸州·泸县五中校考三模）如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2. （1）证明：； （2）若为棱的中点，求点到平面的距离. 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形中，是等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向一方折叠到的位置，使D点在平面内的射影在上，再将向另一方折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）若点F为的中点，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 3．（2023·全国·高三专题练习）如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面，若点是折后图形中半圆上异于，的点 （1）证明：； （2）若，且异面直线和所成的角为，求三棱锥的体积． 4．（2023·全国·高三专题练习）