2.4.2圆的一般方程（2） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

2. 4.2 圆的一般方程 第2课时 1. 任何一个圆的方程都可以写成: 反过来, 2.比较圆的标准方程和圆的一般方程: 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径, 3.圆的一般方程和 比较突出了方程形式上的特点: (1) x2 和 y2 的系数相同且不为0 ,即A=C≠0; (2)没有 xy 这样的二次项,即B=0 . 温故知新: 例1.教材P88练习T3如图,在四边形ABCD中, AB=6,CD=3 ,且AB//CD ,AD=BC ,AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径. 解:设圆的方程为: 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即 圆的方程: 标准方程为: 圆心: 半径: 6 6 练习: 已知动点M与两个定点O(0,0) ,A(3,0) 的距离的比为 ,求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状. 【解析】设点 . 则 ,化简得: 为以 (-1,0)为圆心,2为半径的圆. 返回 圆的定义 定义一:到一定点的距离等于定值的点的轨迹。 定义二:到两个定点的距离之比等于非1的常数的点的轨迹。 定义三:到两个定点距离的平方之和为定值的点的轨迹。 定义四:到两个定点连线斜率之积等于-1的点的轨迹。 自主探究:定义三、定义四 返回 例3:已知线段AB 的端点B的坐标是(4,3) ,端点A在圆 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设点M的坐标是 ,点A的坐标是 ,由于点B的坐标是 (4,3) ,且M是线段 的中点,所以 , 于是有 , . ① 因为点A在圆 上运动,所以点A的坐标满足圆的方程,即 ② 把①代入②,得 , 整理,得 这就是点M的轨迹方程,它表示以 为圆心,半径为1的圆. 12 12 注意:是否有不法分子与 返回 课后作业 2. 《导学》 2.4.2 1. 教材第88页 习题7-10 4.求圆的方程的2种方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法: ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 探究 与圆有关的轨迹问题 探究 与圆有关的轨迹问题 例2.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M的轨迹方程吗? [提示] 设M(x,y),由题意有eq \r( x-8 2+y2)=2eq \r( x-2 2+y2),整理得点M的轨迹方程为x2+y2=16. 拓展探究 提升素养 方法归纳:直接法“5步骤” 探究与圆有关的轨迹问题:相关点法 方法归纳.相关点法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标为(x,y); (2)建立x,y与相关点的坐标x0,y0的方程; (3)用x,y表示x0,y0; (4)把(x0,y0)代入到相关点满足的方程; (5)化简方程为最简形式. 变式:设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹. 解:如图,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2),\f(y,2))),线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0-3,2),\f(y0+4,2))). 因为平行四边形的对角线互相平分, 所以eq \f(x,2)=eq \f(x0-3,2),eq \f(y,2)=eq \f(y0+4,2),整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0=x+3,,y0=y-4.)) 又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,所以(x+3)2+(y-4)2=4. 所以点P的轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(9,5),\f(12,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(因为O,M,P三点不共线,所以应除去两点和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(21,5),\f(28,5))))) . $$