精品解析：山西大学附属中学2024届高三上学期开学考试（总第一次）数学试题

山西大学附中 2023~2024学年第一学期高三9月开学考试（总第一次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中数学全部内容 命题人：岳双珊 审核人：张耀军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在单调递减，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 若向量和向量平行，则（ ）． A. B. C. D. 5. 若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的公差为，前项为，若数列的最大项是第20项和第21项，则（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分. 9. 一组数据是公差为的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差没变 10. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则面积为 C. 若直线过焦点，且，则到直线的距离为 D. 若，则 12. 在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为3π，则（ ） A. 当时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为 B. 当时，过顶点S和两母线截面三角形的最大面积为 C. 当时，圆锥SO的外接球表面积为 D. 当时，棱长为正四面体在圆锥SO内可以任意转动 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分. 13. 已知函数的图象与直线相切，则___________. 14. 的展开式中常数项为______.（用数字作答） 15. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则______． 16. 已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于两点，若分别为与的内心，则的取值范围为___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的值； （2）若面积为，求边上的高的最大值． 18. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点重合的点，连接，作于点于点. （1）求证：是二面角的平面角； （2）若，求二面角的正弦值. 19. 已知一袋中装有30个球，每个球上分别标有1，2，3，…，30的一个号码，设号码为n的球重为（单位：克），这些球等可能的从袋中被取出. （1）现从中不放回地任意取出2球，试求它们重量相等的概率； （2）现从中任意取出1球，若它的重量小于号码数，则放回，搅拌均匀后重取一球；若它的重量不小于号码数，则停止取球.按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为，求的分布列和期望. 20. 设等差数列前n项和为，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为．定义为不超过x的最大整数，例如．当时，求n的值． 21. 椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，． （1）求椭圆的方程； （2）记直线的斜率分别为，求的最小值． 22 已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上有两个极值点，（）． （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西大学附中 2023~2024学年第一学期高三9月开学考试（总第一次） 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高中数学全部内容 命题人：岳双珊 审核人：张耀军 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】