1.3.2空间运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

第1章 1.3　 1.3.2　空间运算的坐标表示 Ⅰ.新课引入 在《平面向量》一章，我们学习了平面向量的加减与数乘运算以及平面向量的坐标运算，与平面向量类似，空间向量也可以进行坐标运算，这就是我们今天要学习的内容——空间向量的坐标运算． Ⅱ.讲授新课 ㈠ 空间直角坐标系 ⒈单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i, j, k｝表示． 单位向量——三个基向量的长度都为1； 正交向量——三个基向量互相垂直． i j k O ⒉空间直角坐标系： ⑴空间直角坐标系的建立：选取空间一点O 和一个单位正交基底 ｛i, j, k｝，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为正方向建立三条坐 标轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空 间直角坐标系O-xyz，点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量. 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz 平面，zOx平面． 有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的 坐标，简记为a＝ ． 空间中相等的向量其坐标是相同的． a＝ i＋ j＋ k． 3.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 ㈡向量的直角坐标运算 ⒈向量的直角坐标运算：设a＝ ，b＝ ， 则 ⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷ a·b＝ . 证明方法：与平面向量一样，将a＝ i＋ j＋ k 和 b＝ i ＋ j＋ k 代入即可． 证明(4): 2.类似于平面向量坐标运算可得：设a＝ ，b = 则 ⑴a//b a＝λb ⑵ a⊥b a·b=0 2.5：空间中点坐标公式和重心坐标公式 在空间直角坐标系中，点 和点 的中点坐标为: 在空间直角坐标系中，已知点 ，点 ，点 ，则△ABC的重心坐标为: 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 例2. 已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求： ⑴线段AB的中点坐标和长度； ⑵到A、B两点距离相等的点P(x、y、z)的坐标x、y、z满足的条件． 解：⑴设M(x、y、z)是线段AB的中点，则 ＝ [(3,3,1)＋(1，0，5)] ＝(2, ,3)． ∴线段AB的中点坐标是 (2, ,3)． ⑵设P(x、y、z)到A、B两点距离相等，则 化简，得　 即为到A、B两点距离相等的点P(x、y、z)的坐标x、y、z满足的条件． 即为AB的中垂面方程 例5.已知 A（4，1，3）、B（2，3，1）、C（3，7， -1），点P（k，-1，3）在面ABC内，求P的坐标. 解： 由四点共面的充要条件可设 则 解： 例5.已知 A（4，1，3）、B（2，3，1）、C（3，7， -1），点P（k，-1，3）在面ABC内，求P的坐标. 新知4：向量坐标法在立体几何中的应用 P20-例2. 如图所示，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. A D C B A1 D1 C1 B1 E F 建系 点的坐标 向量的坐标 向量的 坐标运算 几何 关系 翻译 学生找坐标 新知4：向量坐标法在立体几何中的应用 P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 学生找坐标 新知4：向量坐标法在立体几何中的应用 P21-例3. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点