1.4.2空间向量研究距离、夹角问题（第3课时二面角） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题 （第3课时二面角） (1)几何法：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值) (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量 ； ③求平面的法向量 ； ④计算：设线面角为θ，则 . 2.求直线与平面的夹角的方法与步骤 复习比较 1.两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角. 利用向量方法求二面角 学习新知 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与面β的夹角. 设平面α与面β的夹角为θ,平面α与面β的法向量分别为 思考：图中有几个二面角，两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ 例1（教材P37例8） 如图，在直三棱柱 中， ，P为 的中点，点Q，R分别在棱 ， 上， ， ．求平面 与平面 夹角的余弦值． 1.利用向量方法求二面角的步骤 A B C D E F G P z x y 2.利用向量方法解决立体几何问题的综合运用 A B C D E F G P z x y A B C D E F G P z x y 几何法 向量化 A B C D E F G P z x y 几何法 向量化 公式法 例3.如图，在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=SD=2,BC=1,∠SDC=120°, 求二面角B-AS-D的平面角的余弦值. 3.巩固领悟，提升素养 [解析] 如图,过点D作DC的垂线,交SC于点E, 以D为原点,DC,DE,DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°. 又SD=2, ∴点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为, 则D(0,0,0),S(-1,,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1). 设平面SAD的法向量为m=(x,y,z),∵=(0,0,-2),=(-1,,-2), ∴即 令x=,则y=1,z=0,∴m=(,1,0). 设平面SAB的法向量为n=(a,b,c), 又=(2,0,-1),∴即 令a=,则b=5,c=2,∴n=(,5,2), ∴cos<m,n>===. 由图可知二面角B-AS-D的平面角为锐角, 故二面角B-AS-D的平面角的余弦值是. 析 4.拓展学习：二面角问题 例4（教材P41练习T1））：如图，二面角 ，求平面 与平面 的夹角． ， 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若 的棱上有两个点A，B， 小结：空间角的向量求法 设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值或定正负) 课后作业 P44习题1.4T15,18 《导学》T11 解：(1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩EF＝F， 所以AF⊥平面EFDC. 又AF⊂平面ABEF， 故平面ABEF⊥平面EFDC. 例1：如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D­AF­E与二面角C­BE­F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E­BC­A的余弦值． 备选例题 (2)过D作DG⊥EF，垂足为G.由(1)知DG⊥平面ABEF. 以G为坐标原点，eq \o(GF,\s\up17(―→))的方向为x轴正方向，|eq \o(GF,\s\up17(―→))|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G ­xyz. 由(1)知∠DFE为二面角D ­AF­E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝eq \r(3)，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3，0,0)，D(0,0，eq \r(3))． 由已知得AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝CD， 故AB∥CD，CD∥EF. 由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC， 所以∠CEF为二面角C­BE­F的平面角，∠CEF＝60°. 从而可得C(－2,0，eq \r(3))． 所以eq \o(EC,\s\up17(―→))＝(1,0，eq \r(3))，eq \o(EB,\s\up17(―→))＝(0,4,0)，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝(－3，－4，eq \r(3))，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝(－4,0,0)． 设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量， 则o(EC,\s\up17(―→))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·eq \o(