1.4.2空间向量研究距离、夹角问题（第2课时线面角） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.4.2空间向量研究距离、夹角问题 （第2课时线面角） 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？ 2 例1 3 例1答案 4 例1答案2 1、探究用向量法求线线角 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为θ ，其方向向量分别是 ， ，则 应用1：求异面直线所成角 例1.三棱锥OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB， ∠O1OB=60°，∠AOB=90°，OB=OO1=2，OB=， 求直线A1B和AO1所成角的余弦值. 2、用向量法求线面角 设直线AB与平面α相交于点B，直线AB与平面α所成角为θ ，直线AB的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 应用2：求线面角 例2.四棱锥P-ABC中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M, N分别为PC, PB的中点。 (1)求证：PB⊥DM； (2)求直线BD和平面ADMN所成角. 定义法或几何法 例2.四棱锥P-ABC中，底面为直角梯形，AD//BC，∠BAD=90°，PA⊥平面BACD，PA=AD=AB=2BC=2，M, N分别为PC, PB的中点。 (1)求证：PB⊥DM； (2)求直线BD和平面ADMN所成角. 如果用向量法，则可省去找角的步骤---这也是大家最薄弱的步骤 巩固练习领悟 (1)几何法：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值) (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量 ； ③求平面的法向量 ； ④计算：设线面角为θ，则 . 2.求直线与平面的夹角的方法与步骤 反思总结 升华素养 1.两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角. 课后作业 1. P38练习T1，2 2.P43习题1.4T9，10 设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则 线面平行 ∥ EMBED Equation.3 ∥ EMBED Equation.3 线线平行 ∥ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； 面面平行 设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合. ∥ EMBED Equation.3 ∥ EMBED Equation.3 ； 线面垂直 ⊥ EMBED Equation.3 ⊥ EMBED Equation.3 ⊥ EMBED Equation.3 ⊥ EMBED Equation.3 ； ⊥ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ∥ EMBED Equation.3 ； 面面垂直 设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则 线线垂直 (2)如图，作PH⊥EF，垂足为H. 由(1)得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，eq \o(HF,\s\up15(―→))的方向为y轴正方向，|4|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz. 练习：　如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)求证：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 练习：如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)求证：MN∥平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 解：(1)证明：由已知得AM＝eq \f(2,3)AD＝2. 取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝eq \f(1,2)BC＝2.又 AD∥BC，故TN//AM，所以四边形AMNT为平行四边形， 于是MN∥AT. 因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PA