1.4.2空间向量研究距离、夹角问题（第1课时距离） 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.4.2空间向量研究距离、夹角问题 （第1课时 空间距离） 一 回顾复习 P A B 2 .点到直线的距离 垂线段PB的长叫做点P到直线l 的距离。 —— 平面几何中的距离 1. 点到点的距离 A B 3. 平行线间的距离 A A1 公垂线段AA1的长度为l1 ，l2 间的距离 例1. 在60。的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD别在二面角的两个面内且垂直于AB，已知AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，求C、D两点间的距离。 解： 又 答： C、D两点间的距离为　　　cm。 1、点到点的距离 1. 向量的数量积 2. 投影向量 温故知新 思考1：已知直线l 的方向向量为 ，A是直线l 上的定点，P是l 外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l 的距离？ 如图，向量 在直线l 上的投影向量为 ，则 在Rt△APQ中，由勾股定理可得： 2、探究点到直线的距离 根据两平行直线之间距离的定义，我们知道，两平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 思考2：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 如图，设l1∥l2，它们的方向向量都是 ，A是l1上的定点，P是l2 上任意一点， 是 在l1 上的投影向量，根据点到直线的距离公式，我们有 例1 如图所示， <m></m> 为棱长等于1的正方体，若点 <m></m> 在 正方体的内部且满足 <m></m> ， 求点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离. 审题 以D为原点,DA,DC,DH所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系,由题意,计算出和的坐标,然后根据向量法求 点P到直线BC的距离. 应用 点到直线的距离、两条平行直线之间的距离 [解析] 如图所示，以 <m></m> 为原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴， <m> </m> 轴， <m></m> 轴建立空间直角坐标系， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> , <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> , <m></m> <m></m> ， <m></m> , ∴点 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离 <m></m> . 3. 探究点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离。 A P B 求点A到平面α的距离d，可以在平面α上任取一点B， 则 在平面α的法向量 上的射影长为所求. 证明： 如图在Rt△ABO中， 4、探究点到平面的距离 5. 线面距与面面距 5.1直线到与它平行平面的距离 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离叫做这条直线到平面的距离. A B A1 P B1 5.2. 两个平行平面的距离 B A B` A` 两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离. 和两个平行平面同时垂直的直线叫做这两个平面的公垂线. 公垂线夹在平行平面间的部分叫做这两个平面的公垂线段. P P1 P P1 P P1 如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 根据直线与平面的距离、两平行平面间距离的定义，我们知道，它们都可以根据点到面的距离得到。 5. 线面距与面面距 A P D C B M N 例2 解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz 则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ) A P D C B M N z x y 例2答案 例3 如图所示的多面体是由底面为 <m></m> 的长方体被平面 <m></m> 所截而得的，其中 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . （1）求点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离； （2）设过点 <m></m> 且平行于平面 <m></m> 的平面为 <m></m> ， 求平面 <m></m> 与平面 <m></m> 之间的距离. [解析] （1）由题意，以 <m></m> 为原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴, <m></m> 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 则 <m></m> ， <m></m> .设 <m></m>