1.4.1第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.两个向量的夹角的定义: O A B 温故知新 2 2 知识要点2 2.两个向量的数量积 注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. 　 ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零. A1 B1 B A 　　数量积的几何意义：　　 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。 记 B1 3.空间两个向量的数量积性质 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据； 性质④是求向量夹角的依据. ④ 注： 5 5 例1 4.空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律即 6 6 例1答案 5.空间直角坐标系 ⒈单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，且长度都为1，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i, j, k｝表示． 单位向量——三个基向量的长度都为1； 正交向量——三个基向量互相垂直． i j k O 有序实数组 叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的 坐标，简记为a＝ ． 空间中相等的向量其坐标是相同的 a＝ i＋ j＋ k． 6.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，则由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ，使 7.向量的直角坐标运算 I.向量的直角坐标运算：设a＝ ，b＝ ， 则 ⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷ a·b＝ . 证明方法：与平面向量一样，将a＝ i＋ j＋ k 和 b＝ i ＋ j＋ k 代入即可． 证明(4): II.类似于平面向量坐标运算可得：设a＝ ，b = 则 ⑴a//b a＝λb ⑵ a⊥b a·b=0 利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中， 设A ，B ，则 即 其中 表示A与B 两点间的距离． 这就是空间两点间的距离公式. 探究：如何画出空间中的点、直线、平面？ 教材P26-27：3个思考 新知探究 思考1：如何用向量表示空间中的一点？ 探究1.点的位置向量 P o 思考2:如何用空间中一个定点A和直线 的一个方向向量表示直线？ 探究2：空间直线的向量表示式 探究3、空间平面的向量表达式 思考3：如何利用向量确定空间一个平面？ 注：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。 分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 引例.(回忆：用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 温故知新，突破重难点 16 16 例3 m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例1.已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . 17 17 例3答案 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. A 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 l 新知探究4:平面的法向量 x y z A1 D1 C1 B1 A C B O x y z A1 D1 C1 B1 A C B O 变式:如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC, ∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,