1.1.2空间向量的数量积运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.

1.1.2 空间向量的数量积运算 2 2 1. 共线向量（平行向量）： 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 共线向量定理： 共线向量与共面向量 知识回顾： 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 P B OP = (1- t)OA + t OB. (2) 说明: (1)或(2)都叫做空间直线的向量参数表示式,(3)是线段AB的中点公式。 共线向量 OP = OA + t AB 或 定理: 对于空间任意两个向量a、b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ使a= λb. OP = OA + t a. (1) a 其中向量a叫做直线l的方向向量. A O A、B、P三点共线的充要条件为： （其中x+y=1） 2.共面向量 α 我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 已知平面α与向量a,如果向量a所在的直线OA平行于平面α或向量a在平面α内,那么我们就说向量a平行于平面α,记作 a//α. a O A a (3)共面向量定理: 推论:空间一点P 位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O，有 OP = OM + xMA + yMB. 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使 M B A' P A a b p p = xa + yb. （平面MAB的向量表达式） O 即 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 推 广 1.探究：两个向量的夹角的定义: O A B 8 8 知识要点2 2.探究：两个投影向量 A1 B1 B A (3)探究：空间两个向量的数量积性质 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据； 性质④是求向量夹角的依据. ④ 注： 11 11 例1 (4)探究：空间向量的数量积满足的运算律 注意： 数量积不满足结合律即 12 12 例1答案 ⑶分配律： . O C A A1 B B1 分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直. 例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . m n g 14 14 例3 m n g 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 例3:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ . 15 15 例3答案 课堂练习：教材P8页练习 A B C B1 C1 A1 解： 设 则 B A B C D 解： 解： 方法总结，升华素养 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握投影向量的概念 3.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法． 4.能用向量的数量积解决立体几何（垂直、两点间距离）问题． 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3.掌握投影向量的概念．(重点) 4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点) 1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养. 2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养. 3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 如图,已知两个非零向量 ,在空间任取一点 ,作 , ,则角 叫做向量 与 的夹角,记作: . ⑴范围: =0时, 同向; =π时, 反向 ⑵ ⑶如果 ,则称 与 垂直,记为 类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: |b|cos〈a，b〉eq \f(a,|a|) 2．投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到 同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与 向量b共线的向量c＝ ，则向量c 称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量 a上的投影向量是 . |a|cos〈a，b〉eq \f(b,|b|