重难点06：抛物线中的定点、定值、定直线及抛物线的应用-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册)

重难点06：抛物线中的定点、定值、定直线及抛物线的应用 考点01：抛物线中的直线过定点问题 1．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 2．设抛物线：（）的焦点为，点的坐标为.已知点是抛物线上的动点，的最小值为4. (1)求抛物线的方程： (2)若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点. 3．已知抛物线：过点． (1)求抛物线的方程； (2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．    4．已知动圆恒过定点，圆心到直线的距离为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点． 5．设抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4． (1)求外接圆的方程； (2)若过点的直线与抛物线C交于A，B两点，延长AF，BF分别与抛物线C交于M，N两点，证明：直线MN过定点，并求出此定点坐标． 考点02：抛物线中存在定点满足某条件 6．设抛物线：，直线与交于，两点，且. (1)求； (2)若在轴上存在定点，使得，求定点的坐标. 7．已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切. (1)求椭圆C及抛物线M的标准方程; (2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.    8．已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点. (1)求直线的方程及抛物线的方程； (2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标. 9．已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 10．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 考点03：抛物线中的定值问题 11．在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （1）求曲线C1的方程； （2）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. 12．如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）. (1)证明：动点在定直线上； (2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值. 13．已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围； （Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值． 14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 15．已知抛物线上一点到焦点的距离为3.    (1)求，的值； (2)设为直线上除，两点外的任意一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点，和，，试判断，，，四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 考点04：抛物线中的定直线 16．已知抛物线C：，过的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点. (1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值； (2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且，求直线AB的方程. 17．过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32    (1)求抛物线的方程； (2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.   18．已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．    19．