第三章 函数（知识梳理+热考题型）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

第三单元 函数 单元复习 【知识梳理】 一、函数的概念 函数的定义：给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数. 函数的记法：y＝f(x)，x∈A 定义域：x称为自变量，自变量取值的范围(即数集A)称为函数的定义域. 值域: 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域. 二、同一个函数 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 三、函数的表示方法 (1)解析法：在函数y＝f(x)中，如果f(x)是用代数式(或解析式)来表示的，这种表示函数的方法称为解析法. (2)列表法：用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法. (3)图像法 ①图像法：用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ②作函数图像的方法 描点作图法：实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. 四、分段函数 (1)分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数. (2)常数函数：值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数.也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等. 五、函数单调性的概念 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图(1)所示； (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示. (3)单调区间：如果函数y＝f(x)在I上是增函数(或减函数)，则称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 六、函数的平均变化率 (1)一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2， 记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则： ①y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立； ②y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立. (2)函数的平均变化率 一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率. 七、函数的最值 函数的最大(小)值：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D. (1)如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点； (2)如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点； (3)最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 八、函数奇偶性的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图像特征 ①偶函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数. ②偶函数的图像特征：偶函数的图像关于y轴对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图像特征 ①奇函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数. ②奇函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是奇函数. 九、函数的单调性与奇偶性 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在 [－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同. (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反. 十、奇、偶函数的运算性质及对称问题 (1)奇偶函数的运算性质 在公共定义域内： ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (2)函数的对称轴与对称中心 ①若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a是f(x)的对称轴. ②若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a