3.3.1 抛物线及其标准方程（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

 3.3.1　抛物线及其标准方程 教学设计

一、课时教学内容

1. 抛物线的定义，焦点、准线方程的定义。

2. 抛物线的标准方程的推导，四种不同标准方程形式的特点。

3. 抛物线的定义和标准方程的简单应用。

二、课时教学目标

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念，培养数学抽象的核心素养．

2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，培养数学运算的核心素养．

3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题，培养数学运算的核心素养．

三、教学重点、难点

1. 重点：掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2. 难点：明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题

四、教学过程设计

环节一 创设情境，引入课题

通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为，

设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，	当0<<1时	动点M的轨迹为椭圆
	当>1时	动点M的轨迹为双曲线
	当=1时	动点M的轨迹为  ？

问题1：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状?下面我们就来研究这个问题．

师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为

，当0<<1时时，点M的轨迹为椭圆，当>1时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？

设计意图：问题引入设置悬念， 引发学生思考。

问题2：如图3.3-1，是定点，是不经过的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点．拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？

可以发现，在点随着点运动的过程中，始终有，即点与定点的距离等于它到定直线的距离，点的轨迹形状与二次函数的图象相似．

环节二 观察分析，感知概念

问题3：它的轨迹是什么形状？你能发现点满足的几何条件吗？

【预设的答案】抛物线；

【设计意图】用圆锥曲线的统一定义引出课题，自然顺畅，且可以让学生产生类比的想法.

问题4：分别表示什么呢？

【活动预设】引导学生关注动点到定点与到定直线的距离，从而可以用几何特征表述抛物线的定义.

问题5：说到抛物线，你能联想到哪些抛物线形状的图形呢？

【设计意图】让学生联想生活、科研和生产中的抛物线，并引导学生联想二次函数，产生思维冲突.

我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．

环节三 抽象概括，形成概念

问题6：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？

【活动预设】

（1）分组合作探究；

（2）画图尝试，如何建系使得方程形式更简单.

教师讲授：根据抛物线的定义中涉及的元素以及抛物线的形状，不难想到可以让准线平行于一条坐标轴，过焦点且与准线垂直的直线为另一条坐标轴，例如可以让准线平行于y轴，过焦点且与准线垂直的直线为x轴，这样仍然有3种情况，继续观察，容易想到，x轴与抛物线的交点是图中KF的中点，可将其设置为原点.

【设计意图】学生通过画图尝试，可以逐渐感知如何建系使得各元素以及曲线的方程形式简单.

根据抛物线的几何特征，如图3.3-2，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系．

问题7：设焦点到准线的距离为p，则焦点坐标，准线方程，以及抛物线上一点满足的方程如何表示？

【设计意图】

（1）体验将几何关系用代数表达式表示；

（2）感受直接法求轨迹方程；

（3）锻炼化简计算能力.

设，那么焦点的坐标为，准线的方程为．