3.3.1 抛物线及其标准方程（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1　抛物线及其标准方程 导学案 学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，培养数学运算的核心素养． 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题，培养数学运算的核心素养．． 重点难点 重点：抛物线的标准方程及其推导过程 难点：求抛物线标准方程 课前预习 自主梳理 知识点一 抛物线的定义 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线． 焦点 叫做抛物线的焦点 准线 直线l叫做抛物线的 集合 表示 P＝{M||MF|＝ }，d为点M到准线l的距离 注意点： (1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 知识点二 抛物线的标准方程 焦点位置 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点在正半轴上 y2＝ (p>0) 焦点在负半轴上 y2＝ (p>0) 焦点在正半轴上 x2＝ (p>0) 焦点在负半轴上 x2＝ (p>0) （ 注意点： (1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：顶点在坐标原点、焦点在坐标轴上． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的正负． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线．(　　) (4)抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离．(　　) 2.已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（    ） A．2 B． C． D． 3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）给出如下四个命题正确的是（    ） A．方程表示的图形是圆 B．椭圆的离心率 C．抛物线的准线方程是 D．双曲线的渐近线方程是 5.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是（    ） A． B． C． D． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为， 设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为， 当0<<1时 动点M的轨迹为椭圆 当>1时 动点M的轨迹为双曲线 当=1时 动点M的轨迹为 ？ 问题1：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状?下面我们就来研究这个问题． 问题2：如图3.3-1，是定点，是不经过的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点．拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 可以发现，在点随着点运动的过程中，始终有，即点与定点的距离等于它到定直线的距离，点的轨迹形状与二次函数的图象相似． 环节二 观察分析，感知概念 问题3：它的轨迹是什么形状？你能发现点满足的几何条件吗？ 问题4：分别表示什么呢？ 问题5：说到抛物线，你能联想到哪些抛物线形状的图形呢？ 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 环节三 抽象概括，形成概念 问题6：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 根据抛物线的几何特征，如图3.3-2，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系． 问题7：设焦点到准线的距离为p，则焦点坐标，准线方程，以及抛物线上一点满足的方程如何表示？ 设，那么焦点的坐标为，准线的方程为． 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为，由抛物线的定义，抛物线是点的集合 ． 因为，， 所以 ． 将上式两边平方并化简，得 ．① 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上．找们把方程①叫做抛物线的标准方程．它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线． 问题8：