3.3 幂函数（教学课件）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

人教A版2019必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 目 录 1 学习目标 2 新课讲解 3 课本例题 4 课本练习 5 题型分类讲解 6 随堂检测 7 课后作业 学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积． 大约到15世纪，人们才意识到要用一个缩写的方式来表示若干个相同数的乘积．直到17世纪才开始出现在幂的符号中将指数与底数分开来表示的趋势． 1636年苏格兰人休姆(Hume)引进了一种较好的记法，他用罗马数字表示指数，写在底数的右上角，如“”写作“”，这种记法与现在相比较，除了数字采用罗马数字外，其余完全一样．一年以后，法国数学家笛卡儿将其进行了改进，把罗马数字改用阿拉伯数字，成了今天的样子。 情景引入 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. （1）如果张宏以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数; （2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数; （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积,这里是的函数; （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长,这里是的函数; （5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度,即,这里是的函数. （1）; （2）; （3）; （4），即=; （5）,即. 活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征. 实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数. 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 注：幂函数中的系数为“1”. 1.在函数中，幂函数的个数为（ ）. 答案：B.其中的定义域为R，而中，所以不是幂函数. 练一练 活动2：对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性） 活动3：观察现场利用软件作图. 思考1：我们已经学习过函数的哪些性质？ 思考2：根据以往学习函数的经验，结合着函数图象，来找一找这5个函数的“异同”点. 活动4：结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表. 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在 上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 定点 （1,1） 思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有 幂函数的图象. 幂函数的性质： （1）过定点（1,1）； （2）幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限； （3）当时，函数在区间上是增函数； （4）当时，函数在区间上是减函数； （5）在上，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图低）； （6）在上，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图高）； 例.证明幂函数是增函数. 证明：函数的定义域是. ,且,有 ∵,, ∴,即幂函数是增函数. 2.若f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数，则f(2)＝_____. 不是 1.辨析1：判断下列函数是不是幂函数？ 是 不是 不是 是 不是 由f(x)=(m2-4m+5)x-m+|n+1|是幂函数得 ∴f(x)=x-2， 简析： 课本练习 14 3.判断正误. （1）幂函数的图象必过（0,0）和（1,1）.（ ） （2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （ ） （3）当幂指数取1,3，时，幂函数是增函数.（ ） （4）若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大.（ ） × × √ × 15 4.若四个幂函数图象在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ）. 16 题型一：幂函数的概念 例1.已知是幂函数，则=________. 解：∵是幂函数 ∴=1，解之得：或-1. 题型讲解 【变式】已知幂函数在上为减函数，则等于（ ）. 解：∵为幂函数