2.2 基本不等式课件2-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 1 一 二 三 教学目标 掌握基本不等式，了解基本不等式的证明过程 理解基本不等式的取最值成立条件 （一正二定三相等） 利用基本不等式解决简单的最值问题 教学目标 难点 重点 易错点 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 当且仅当a=b时，等号成立。 替换后得到： 即： 即： 当且仅当a=b时,等号成立. 定理 基本不等式 均值不等式 定理 基本不等式 均值不等式 一般地，对于任意实数a,b>0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式： a,b的算术平均数 a,b的几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 公式 定理 基本不等式 均值不等式 ， 当且仅当时，等号成立 ， 当且仅当时，等号成立 变形式 6 证明: 例 已知a,b,c都是整数，求证： 当且仅当a=b时，等号成立； 当且仅当b=c时，等号成立； 当且仅当c=a时，等号成立； 当且仅当a=b=c时，等号成立；即证原不等式成立. 定理 基本不等式 均值不等式 名称 定理1：重要不等式 定理2：基本不等式 表达式 文字叙述 适用范围 “=”成立条件 a=b a=b a,b∈R a>0,b>0 两实数的平方和不小于它们积的2倍 两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 问题 我们该如何证明基本不等式：？ （大家可以回忆上节课是如何比较两个实数大小） 作差法 性质法 当且仅当a＝b时，等号成立. 9 当且仅当a＝b时，等号成立. 性质法 数学证明的思想方法：综合法 体现：要证、即证 （通俗叫法：逆推法） 10 几何法 新课讲授 如图，AB为圆的直径，C为圆心，AE=a,BE=b,点E为AB上一点，过点E作直径AB的垂线，交圆C于D、F两点，链接AD、CD、BD. E (1)如何用a、b表示CD？CD=________ (2)如何用a、b表示DE？DE=________ RtAEDRtDEB，所以,所以AEBEab，所以DE=. (3)CD与DE的大小关系如何？CD=________DE 几何意义：半径长不小于半弦长 ，当且仅当a=b时，等号成立 注意：一正、二定、三相等 基本不等式的常见变形 (1)a+b≥； (2)ab≤ 拓展： 调和平均数 平方平均数 定理 重要不等式： 例 已知x >0，求 的最小值. 解： 一正 二定 三相等 变式1 若 求 的最小值 定理 重要不等式： 变式2 若 ,求 的最大值. 定理 重要不等式： 利用基本不等式解决最值问题 （1）.牢记三个关键词：一正、二定、三相等； 一正：各项必须为正； 二定：各项之和或各项之积为定值； 三相等：必须验证取等号成立的条件是否具备； （2）.应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理拆、凑、配等变换，配凑原则是“和”或“积”为定值. 练习 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 2. 利用基本不等式求最值 1. 两个重要的不等式 课堂小结 谢谢大家 We have many PowerPoint templates that has been specifically designed to help anyone that is stepping into the world of PowerPt for the very first time. 20 － ＝ ＝ ＝≥0 只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0， 只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立， 要证≤， $$