2.2 基本不等式课件1-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 等式性质和不等式性质 重点 难点 1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。 2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题 学习目标 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 重要不等式与基本不等式的比较 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 4 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 基本不等式的证明 代数法 基本不等式 ≤ (a>0, b>0) 的几何解释： D A B C E 如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD= , 半径为 . 思考：图中什么时候 = ？ 基本不等式的简单变形 ≥ (a>0, b>0) ≤()2 (a>0, b>0) ≤ (a>0, b>0) 和 积 基本不等式的功能：和积转化 例1 已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 例2 已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. 积定和最小 例2 已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 证明：∵都是正数，∴ (2)当和等于定值时， ∴ 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 和定积最大 已知 都是正数，证明： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值; (2)如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 。 11 证明：因为都是正数，所以 （1）当积等于定值时， ，所以 ， 当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，和有最小值。 （2）和等于定值S时， ，所以， 当且仅当时，上式等号成立。于是，当时，积有最大值。 积定和最小和定积最大 12 练习1：已知，求证：. 【证明】 ，即. 课堂练习 练习2：已知都是正数，且，求证： （1） （2） （1）∵ ， ∴ ， 由于，等号取不到， 所以 （2）∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 【证明】 本题可拓展到求，等同类式子的最小值. 练习3：取何值时，取得最小值？最小值是多少？ 【解】由题意∵ ， 所以， ∴, 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为 练习4：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时， 两条直角边的和最小？最小值是多少？. 【解】由题意设两条直角边的长度分别为，且 则面积为，即， 所以， 当且仅当 时，两条直角边的和有最小值20 小结 3.求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 (当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2. 利用基本不等式求最值 1. 基本不等式 如果，则，当且仅当，等号成立。 17 本讲结束 $$