2.2 基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 学习目标 1.能够推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,并掌握不等式中“≥”取等号的条件； 2.掌握基本不等式 ；会应 用基本不等式求一些函数的最值能够解决一些简单的实际问题 3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算. 重要不等式：a2＋b2≥2ab 基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数． 创设情境 如果a＞0，b＞0，用 代替a，b，得到： 当且仅当a＝b时取等号． 几何平均数 代数平均数 基本不等式 如果 ,我们用 分别代替 可得 到什么结论? 替换后得到: 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 注意：从不同角度认识基本不等式 重要不等式与基本不等式的比较 基本不等式的证明 新课讲授 方法一：分析法 要证 ① 只要证 ② 要证 ②，只要证 0 ③ 要证③，只要证 ④ 显然，④成立.当且仅当a=b时，等号成立. 方法二：做差法 新课讲授 ∵a>0,b>0, ∴ ∴ 当且仅当a=b时，等号成立 试一试：能否从几何的角度解释基本不等式？ ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ≥ 几何意义：半径不小于半弦长 当点C在什么位置时OD=CD？ 此时a与b的关系是？ 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A B C D E a b O 例1.已知求的最小值. 解：∵∴ 当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2. 在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值. 想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？ 例2.已知都是正数，求证： (1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值； 证明：∵都是正数，∴ (1)当积等于定值时，∴ 积定和最小 当且仅当时，上式等号成立. 于是，当时，和有最小值. 已知都是正数，求证： (2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值 和定积最大 当且仅当上式等号成立. 于是，当时，积有最大值 证明：(2)当和等于定值时， ∴ 例1 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由， 可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 例1 (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元. 根据题意，有 由容积为,可得因此 所以 当时，上式等号成立，此时 所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 题型一：利用基本不等式求和的最小值 例1 若，则的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D． 有最小值 B 题型一：利用基本不等式求和的最小值 变1 若，且，求的最小值． 题型二：利用基本不等式求积的最大值 例2 已知，则当取最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． B 题型二：利用基本不等式求积的最大值 变2 已知，求的最大值. ∵， ∴， ∴ 当且仅当，即